bzoj3143HNOI2013游走

Posted 2020-07-11 AaronPolaris

3143: [Hnoi2013]游走

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。 

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。 

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。 

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

Source

非官方数据

概率DP+高斯消元

首先将所有边的期望次数排序，要使答案最小，期望次数越大的边分数越小。所以我们只需计算出所有边的期望次数。

然后一条边(x,y)的期望次数f(x,y)=p(x)/d(x)+p(y)/d(y)，其中不包含终点。

对每个点的期望次数p(x)建立方程组，高斯消元解决。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 505
#define maxm 300000
using namespace std;
int n,m,d[maxn],x[maxm],y[maxm];
double ans,a[maxn][maxn],b[maxn],p[maxm];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void gauss()
{
	F(i,1,n)
	{
		int tmp=i;
		while (!a[tmp][i]&&tmp<=n) tmp++;
		if (tmp>n) continue;
		if (tmp!=i) F(j,1,n+1) swap(a[i][j],a[tmp][j]);
		F(j,1,n) if (j!=i)
		{
			double t=a[j][i]/a[i][i];
			F(k,1,n+1) a[j][k]-=t*a[i][k];
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	F(i,1,m)
	{
		x[i]=read(),y[i]=read();
		d[x[i]]++;d[y[i]]++;
	}
	a[1][n+1]=-1.0;
	F(i,1,n) a[i][i]=-1.0;
	F(i,1,m)
	{
		if (x[i]!=n) a[y[i]][x[i]]=1.0/d[x[i]];
		if (y[i]!=n) a[x[i]][y[i]]=1.0/d[y[i]];
	}
	gauss();
	F(i,1,n) b[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	F(i,1,m)
	{
		if (x[i]!=n) p[i]+=b[x[i]]/d[x[i]];
		if (y[i]!=n) p[i]+=b[y[i]]/d[y[i]];
	}
	sort(p+1,p+m+1);
	F(i,1,m) ans+=p[i]*(m-i+1);
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}