Bzoj3143 [Hnoi2013]游走

Posted 2020-09-06 SilverNebula

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Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

 

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

 

Source

非官方数据

 

数学问题 数学期望 高斯消元+贪心

使得总分期望值最小，显然需要求出每条边的期望被经过次数，然后给次数最多的边标上最小的编号。

一条边(x,y)的期望被经过次数等于点x的经过次数*从x到y的概率(1/出度) +点y的经过次数*从y到x的概率

那么现在只需要求每个点的经过次数就可以了

 

$P[x]=\sum_{i=1,i!=x}^{n}P[i]*k[i][x]$  $k[i][x]=1.0/outdeg[i]$

特别地，P[1]等于那一串再加一个1，因为点1一开始就被经过了一次

第n个点进去就出不来，可以忽视

↑忽视不代表可以直接删掉第n行第n列，因为其他向量的计算还要用到这部分。

 

第57、58行算出度，调用了先前的u和v，WAWAWA

 

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 #include<vector>
 8 using namespace std;
 9 const int mxn=505;
10 int read(){
11     int x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 struct edge{
17     int x,y;
18 }e[mxn*mxn];
19 int n,m;
20 double ans=0;
21 double f[mxn][mxn];
22 void Gauss(){
23     int i,j,k;
24     for(i=1;i<=n;i++){
25         int p=i;
26         for(j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])>fabs(f[p][i]))p=j;
27         if(p!=i)
28             for(j=i;j<=n+1;j++)swap(f[p][j],f[i][j]);
29         for(j=i+1;j<=n;j++){
30             double x=f[j][i]/f[i][i];
31             for(k=i;k<=n+1;k++){
32                 f[j][k]-=f[i][k]*x;
33             }
34         }
35     }
36     for(i=n;i;i--){
37         for(j=i+1;j<=n;j++)
38             f[i][n+1]-=f[i][j]*f[j][n+1];
39         f[i][n+1]/=f[i][i]; 
40 //        printf("i:%.3f\n",f[i][n+1]);
41     }
42     return;
43 }
44 double k[mxn][mxn];//点到点转移的概率 
45 double g[mxn*mxn];//边被使用的期望次数 
46 int out[mxn];//出度
47 int cmp(double a,double b){return a>b;}
48 int main(){
49     int i,j,u,v;
50     n=read();m=read();
51     for(i=1;i<=m;i++){
52         u=read();v=read();
53         e[i].x=u;e[i].y=v;
54         ++out[v];++out[u];
55     }
56     for(i=1;i<=m;i++){
57         k[e[i].x][e[i].y]+=(double)1/out[e[i].x];
58         k[e[i].y][e[i].x]+=(double)1/out[e[i].y];
59     }
60     f[1][n+1]=-1;f[n][n]=1;f[n][n+1]=0;
61     for(i=1;i<n;i++){
62         for(j=1;j<=n;j++){
63             f[i][j]=k[j][i];
64         }
65         f[i][i]-=1;
66     }
67 /*    for(i=1;i<=n;i++){
68         for(j=1;j<=n+1;j++)
69             printf("%.3f  ",f[i][j]);
70         printf("\n");
71     }*/
72     Gauss();
73     for(i=1;i<=m;i++){
74         g[i]=f[e[i].x][n+1]/out[e[i].x]+f[e[i].y][n+1]/out[e[i].y];
75     }
76     sort(g+1,g+m+1,cmp);
77     for(i=1;i<=m;i++)ans+=g[i]*i;
78     printf("%.3f\n",ans);
79     return 0;
80 }