[BZOJ4568][SCOI2016]幸运数字(倍增LCA,点分治+线性基)

Posted 2020-11-02 HocRiser

4568: [Scoi2016]幸运数字

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Description

A 国共有 n 座城市，这些城市由 n-1 条道路相连，使得任意两座城市可以互达，且路径唯一。每座城市都有一个

幸运数字，以纪念碑的形式矗立在这座城市的正中心，作为城市的象征。一些旅行者希望游览 A 国。旅行者计划

乘飞机降落在 x 号城市，沿着 x 号城市到 y 号城市之间那条唯一的路径游览，最终从 y 城市起飞离开 A 国。

在经过每一座城市时，游览者就会有机会与这座城市的幸运数字拍照，从而将这份幸运保存到自己身上。然而，幸

运是不能简单叠加的，这一点游览者也十分清楚。他们迷信着幸运数字是以异或的方式保留在自己身上的。例如，

游览者拍了 3 张照片，幸运值分别是 5，7，11，那么最终保留在自己身上的幸运值就是 9（5 xor 7 xor 11）。

有些聪明的游览者发现，只要选择性地进行拍照，便能获得更大的幸运值。例如在上述三个幸运值中，只选择 5 

和 11 ，可以保留的幸运值为 14 。现在，一些游览者找到了聪明的你，希望你帮他们计算出在他们的行程安排中

可以保留的最大幸运值是多少。

Input

第一行包含 2 个正整数 n ，q，分别表示城市的数量和旅行者数量。第二行包含 n 个非负整数，其中第 i 个整

数 Gi 表示 i 号城市的幸运值。随后 n-1 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示 x 号城市和 y 号城市之间有一

条道路相连。随后 q 行，每行包含两个正整数 x ，y，表示这名旅行者的旅行计划是从 x 号城市到 y 号城市。N

<=20000,Q<=200000,Gi<=2^60

Output

 输出需要包含 q 行，每行包含 1 个非负整数，表示这名旅行者可以保留的最大幸运值。

Sample Input

4 2
11 5 7 9
1 2
1 3
1 4
2 3
1 4

Sample Output

14
11

HINT

Source

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线性基不支持删除，但是支持插入与合并，于是显然可以树剖维护，$O(n\log^4n)$。

线性基不支持修改，浪费了线段树支持修改的功能，实际上可以直接用不支持修改的ST表，$O(n\log^3n)$。

点分治不仅可以做路径统计问题，还可以处理与路径有关的询问问题，将每个询问的两个点的vector中放入这个询问，每次递归到一个重心时查找管辖范围内的所有询问，因为一个询问只涉及两个点，所以复杂度是有保证的。$O(n\log^2n)$

下面是倍增LCA的代码，要注意关于点的LCA和普通的是有区别的：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 5 typedef long long ll;
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=20100,M=62;
 9 ll g[N][16][M],Ans[M],a[N];
10 int n,Q,u,v,cnt,to[N<<1],nxt[N<<1],h[N],d[N],fa[N][16];
11 
12 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
13 void ins(ll p[],ll x){
14     for (int i=61; ~i; i--) if (x&(1ll<<i)){
15         if (!p[i]) { p[i]=x; break; } else x^=p[i];
16     }
17 }
18 void merge(ll g[],ll f1[],ll f2[]){
19     rep(i,0,61) g[i]=f1[i];
20     rep(i,0,61) if (f2[i]) ins(g,f2[i]);
21 }
22 void dfs(int x){
23     ins(g[x][0],a[x]);
24     rep(i,1,15){
25         fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
26         merge(g[x][i],g[x][i-1],g[fa[x][i-1]][i-1]);
27     }
28     for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
29         if ((k=to[i])!=fa[x][0]) fa[k][0]=x,d[k]=d[x]+1,dfs(k);
30 }
31 
32 void lca(int u,int v){
33     memset(Ans,0,sizeof(Ans));
34     if (d[u]<d[v]) swap(u,v);
35     int t=d[u]-d[v];
36     for (int i=15; ~i; i--)
37         if (t&(1<<i)) merge(Ans,Ans,g[u][i]),u=fa[u][i];
38     if (u==v){ merge(Ans,Ans,g[u][0]); return; }
39     for (int i=15; ~i; i--)
40         if (fa[u][i]!=fa[v][i])
41             merge(Ans,Ans,g[u][i]),merge(Ans,Ans,g[v][i]),
42             u=fa[u][i],v=fa[v][i];
43     merge(Ans,Ans,g[u][0]); merge(Ans,Ans,g[v][0]);
44     merge(Ans,Ans,g[fa[u][0]][0]);
45 }
46 
47 ll get(ll p[]){
48     ll res=0;
49     for (int i=61; ~i; i--) res=max(res,res^p[i]);
50     return res;
51 }
52 
53 int main(){
54      freopen("bzoj4568.in","r",stdin);
55      freopen("bzoj45682.out","w",stdout);
56     scanf("%d%d",&n,&Q);
57     rep(i,1,n) scanf("%lld",&a[i]);
58     rep(i,2,n) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
59     dfs(1);
60     while (Q--) scanf("%d%d",&u,&v),lca(u,v),printf("%lld\n",get(Ans));
61     return 0;
62 }

然后是点分治，本机时间跑的是倍增的一半，交到OJ上就莫名其妙的死活TLE，弃疗。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<vector>
 4 #include<algorithm>
 5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 6 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 7 typedef long long ll;
 8 using namespace std;
 9 
10 const int N=20010,M=200010,inf=1000000000;
11 int n,Q,u,v,cnt,S,rt,tim,pos[N],f[N],b[N],sz[N],vis[N],d[N];
12 int fa[N][16],h[N],to[N<<1],nxt[N<<1];
13 ll a[N],g[N][65],Ans[65],ans[M];
14 struct P{ int u,v; }s[M];
15 vector<int>V[N];
16 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
17 
18 void ins(ll p[],ll x){
19     for (int i=60; ~i; i--) if (x&(1ll<<i)){
20         if (!p[i]) { p[i]=x; break; } else x^=p[i];
21     }
22 }
23 
24 void merge(ll g[],ll f1[],ll f2[]){
25     rep(i,0,60) g[i]=f1[i];
26     rep(i,0,60) if (f2[i]) ins(g,f2[i]);
27 }
28 
29 ll get(ll p[]){
30     ll res=0;
31     for (int i=60; ~i; i--) res=max(res,res^p[i]);
32     return res;
33 }
34 
35 void find(int x,int fa){
36     f[x]=0; sz[x]=1;
37     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa && !vis[k])
38         find(k,x),sz[x]+=sz[k],f[x]=max(f[x],sz[k]);
39     f[x]=max(f[x],S-sz[x]);
40     if (f[x]<f[rt]) rt=x;
41 }
42 
43 void work(int x,int fa,int bel){
44     pos[x]=bel; b[x]=tim;
45     rep(i,0,60) g[x][i]=g[fa][i]; ins(g[x],a[x]);
46     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa && !vis[k]) work(k,x,bel);
47 }
48 
49 void work1(int x,int fa){
50     for (vector<int>::iterator it=V[x].begin(); it!=V[x].end(); it++){
51         int k=*it; if (ans[k]) continue;
52         int u=s[k].u; if (u==x) u=s[k].v;
53         if (b[u]==tim && (pos[u]!=pos[x] || !pos[u]))
54             merge(Ans,g[u],g[x]),ans[k]=get(Ans);
55     }
56     For(i,x) if ((k=to[i])!=fa && !vis[k]) work1(k,x);
57 }
58 
59 void solve(int x){
60     vis[x]=1; b[x]=++tim; pos[x]=0;
61     rep(i,0,60) g[x][i]=0; ins(g[x],a[x]);
62     For(i,x) if (!vis[k=to[i]]) work(k,x,k); work1(x,0);
63     For(i,x) if (!vis[k=to[i]]) S=sz[k],f[rt=0]=inf,find(k,x),solve(k);
64 }
65 
66 int main(){
67     freopen("bzoj4568.in","r",stdin);
68     freopen("bzoj4568.out","w",stdout);
69     scanf("%d%d",&n,&Q);
70     rep(i,1,n) scanf("%lld",&a[i]);
71     rep(i,2,n) scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
72     rep(i,1,Q) scanf("%d%d",&s[i].u,&s[i].v),V[s[i].u].push_back(i),V[s[i].v].push_back(i);
73     f[rt=0]=inf; S=n; find(1,0); solve(rt);
74     rep(i,1,Q) printf("%lld\n",ans[i]);
75     return 0;
76 }