#14 [BZOJ2090/2089] [Poi2010]Monotonicity 2/Monotonicity

Posted 2020-11-01 yinwuxiao

题解：

首先想到了标算。。然后证明了一发是错的（事实证明很智障）

先说正确性比较显然的O（n^2)算法

令f[i][j]表示前i个物品，匹配到第j个括号，最大值是多少

  g[i][j]表示前i个物品，匹配到第j个括号，最小值是多少

然后这个转移是O（1）的 状态是n^2的

被状态局限了就没法优化了

标算：

令f[i]表示取第i个的情况下最大到达的位置，f[i+1]由f[ 1-----i ]转移

我们来证明一下这个的正确性

原命题：每个f[i]一定是由前面某个f[j]转移过来

逆命题：其中有一个f[i]是由j的某个非最优状态转移而来

既然f[i]由j的某个非最优状态转移，那么f[j]+1这个符号一定与a[i],a[j]的大小不符

举个例子 a[i]是3 a[j]是4 大小关系是>><

现在f[j]=2,即下一位要求a[j]<a[i] 所以a[i]和a[j]不满足要求

那么一定是由前面一个>转移的(因为满足a[j]>a[i])

那我们看一下f[j]是怎么来的 前面一定有个k满足a[k]>a[j]

那么a[k]>a[j]>a[i] 这样 f[i]一定是可以从a[k]转移而来的

原命题得证

然后有了这个dp方程显然线段树优化一下就可以了