奥赛经典（代数篇）划水记

Posted 2020-11-01 blog-of-eden

ZJOI结束了，感觉该做点数学题提神醒脑。于是挑了几道奥赛经典上比较简单的几题划划水~~

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1、一个数集的和是指它的所有元素的和，令S是一些不超过15的正整数组成的集合，

S的任意两个不相交的子集合的和不相等，并且在所有具有上述性质的集合中，S的和最大。

求集合S的和。

（第二章·习题B·1）

 

先证明集合大小不超过5，然后构造即可。答案：61

 

 

2、n是一个正整数，A是集合{1,2,...,n}的子集的一个集合，使得A内无元素包含A的其他元素。

求A的全部元素的个数的最大值。

（第二章·习题B·3）

 

我的大致想法是，对于A内子集，如果最小的大小为k，且k<[n/2]，

我们把所有包含这些子集的大小为k+1的子集去替换这些大小为k的子集，这样A依然合法，并且容易证明元素个数不会减少。

　　（大致证明：S1为大小为k的子集的集合，设S2为大小为k+1的子集的包含这些子集的集合。

　　S1内任意元素对应S2中(n-k)个元素，S2中任意元素最多对应S1中(k+1)个元素。

　　因为n-k>=k+1，又因为对应关系是互相的，所以S2元素个数>=S1元素个数）

对于A内子集，如果最大的大小为k，且k>[n/2]，

我们把所有被这些子集包含的大小为k-1的子集去替换这些大小为k的子集，这样A依然合法，同理容易证明元素个数不会减少。

于是，当A内子集大小都为[n/2]时，A的全部元素个数最大。

此时元素个数为C(n,[n/2])。

 

题解做法比较有趣，对于1到n的全排列，种数为n!个。设A中有fk个k元子集作为元素。|A|=f1+f2+...+fn

当fk>0，对于fk个k元子集中任意一个子集{a1,a2,...,ak}，取出前k个元素恰好构成子集{a1,a2,...,ak}的全排列，共有k!(n-k)!个。

由于A中两两元素不包含。因此对于A中所有元素用上述方法取出的全排列必然两两不同。

所以，

当A取{1,2,...,n}中全部[n/2]元子集组成的集合时，恰达到|A|=C(n,[n/2])

 

 

3、n是不小于3的正整数，f(n)表示不是n的因数的最小正整数（例如f(12)=5）。

如果f(n)≥3，又可作f(f(n))，类似的，如果f(f(n))≥3，又可作f[f(f(n))]等等。

如果f(f(···f(n)···))=2 （前面有k次f），就把k叫做n的长度。

如果用Ln表示n的长度，试对任意正整数n(n≥3)，求Ln，并证明你的结论。

（第三章·习题B·2）

 

显然，当n是奇数时Ln=1。

当n为偶数时，设n=2^k * (2m+1) （k是正整数，m是非负整数）

若 1,2,...,2^(k+1)-1 都是n的约数，那么显然f(n)=2^(k+1)，Ln=3。

其他情况下，f(n)一定是个奇数，故Ln=2。

 

 

4、函数f(x,y)对所有的非负整数x,y满足：

　　1.f(0,y)=y+1

　　2.f(x+1,0)=f(x,1)

　　3.f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]

　　试确定f(4,1981)

（第三章·习题B·4）

 

f(0,n)=n+1

f(1,0)=2，f(1,n) = f(0,f(1,n-1)) = f(1,n-1) +1，故 f(1,n)=n+2

f(2,0)=3，f(2,n) = f(1,f(2,n-1)) = f(2,n-1) +2，故 f(2,n)=2n+3

f(3,0)=5，f(3,n) = f(2,f(3,n-1)) = 2*f(3,n-1)+3，故 f(3,n) = 2^n *8-3

f(4,0)=13，f(4,n) = f(3,f(4,n-1)) = 2^f(4,n-1) *8 - 3。设g(n) = f(4,n)+3，g(n) = 2^g(n-1)

则又g(0) = 2^2^2，g(1981) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984个2）

f(4,1984) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984个2）- 3

 

（留坑待填）