有关经典约瑟夫问题的几种解法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了有关经典约瑟夫问题的几种解法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

    

  约瑟夫问题是信息学奥赛中的一类经典且重要的题型,在平常的测试中屡屡出现。

  

  通常题设可抽象为:一开始有 $n $个人围成一个圈, 从 $1 $开始顺时针报数, 报出 $m $的人被踢出游戏.。然后下一个人再从$ 1 $开始报数,直到只剩下一个人。

     或者:曾经有个人在他身边,然而现在只剩他一个人。$Who$  $are$  $you$$?$  $Who$ $am$ $I$$?$  $Why$ $am$ $I$ $here$$? $走的越来越慢,人越来越少,可终于还是只剩一个了呢。他们围成一圈,随机了一个人作为$1$号,然后逆时针依次编号。$1$号开始报数,报到 $1$,他走了;然后$2$号开始报数,$2$号报了$1$,$3$ 号报了$2$ ,于是$3$ 号也走了……每一轮都从上一次出局的下一个人开始报数,第 $i$轮从$1$ 报到$i$ ,报 $i$的人出局。直到只剩他一个人。却早已不记得他自己是谁。

 

  针对不同的数据范围,可以存在如下几种做法:

1. $O(nm)$

  $O(nm)$的复杂度适用于$n,m$都在$30000$以内的情况,此类题型较少,例如“约瑟夫游戏”一题,$n,m<=30000$,由于随着游戏的不断进行,需要枚举的人数越少,所以复杂度实际低于$O(nm)$。算法思路:暴力模拟即可。

  

技术图片
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,N,M; bool v[1000100];
void wk()
    memset(v,0,sizeof(v));
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int t=0,num=0,pos=1;
    while(1)
        if(v[pos])
            ++pos;
            if(pos==N+1) pos=1;
            continue;
        
        ++num;
        if(num==M)
            if(t==N-1)
                printf("%d\n",pos);
                return;
            
            v[pos]=1,++t,num=0;
        
        ++pos;
        if(pos==N+1) pos=1;
    

int main()
    scanf("%d",&T);
    while(T--) wk();
    return 0;
暴力模拟约瑟夫问题

 

2.$O(n)$

  $O(n)$算法已经适用于大多数约瑟夫问题,让$n<=1e7$的数据范围可以被轻松解决,考虑以任意一人为起点,选出第$m$个人后的编号变化,设起始$id==0$,选出第$m$个人后,$id->(id+m)$,再回归到原来的圆形,设$i$表示第$i$轮游戏,那么整体的公式即为$(id+m)$%$(n-i+1)$。倒序枚举即可。也可以用$dp$方式实现,或者正序枚举,将公式改变为$(id+m)$%$(i+1)$,最后答案即为$id+1$。

  

技术图片
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std;
int T,n,ans,m;
inline int read()
    re int a=0,b=1; re char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)
        b=(ch==-)?-1:1,ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return a*b;

signed main()
    T=read();
    while(T--)
        n=read(),m=read(),ans=0;
        if(m==1)printf("%d\n",n);continue;
        for(re int i=n;i>=1;--i)
            ans=(ans+m)%(n-i+1);
        printf("%d\n",ans+1);
    
    return 0;
O(n)递推约瑟夫问题

 

3.$O(mlogn)$

  此类算法并不常见,但由于一些毒瘤出题人缘故,针对$n<=1e9,m<=1e5$类型的数据范围,我们不得不采用特别的递推方式,通过打表可以发现,保持$m$不变,$n$每加一,答案在模$n$意义下加$m$,注意:此时的$n$是一个变化的$n$,那么可以通过对$n$的递推处理,将$O(n)$级别的枚举,转化为在答案值域区间上的选择性跳跃,从而将以$n$为基础的算法转向以$m$为基础的算法,可以处理该类毒瘤问题

  

技术图片
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register
using namespace std;
int t,n,m;
inline int read()
    re int a=0,b=1; re char ch=getchar();
    while(ch<0||ch>9)
        b=(ch==-)?-1:1,ch=getchar();
    while(ch>=0&&ch<=9)
        a=(a<<3)+(a<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return a*b;

signed main()
    t=read();
    while(t--)
        n=read(),m=read();
        re int now=1,ans=1,nxt;
        while(now<=n)
            nxt=(now-ans)/(m-1);
            if(now+nxt>=n)
                ans=ans+(n-now)*m;
                break;
            
            now=now+nxt+1;
            ans=(ans+(nxt+1)*m-1)%now+1;
        
        printf("%lld\n",ans);
    
    return 0;
O(mlogn) 基于值域的约瑟夫问题

 

  至此,通过不同的数据范围选择不同的算法,一般的约瑟夫问题已经可以完全解决。

                            $Over$

以上是关于有关经典约瑟夫问题的几种解法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

这样给面试官解释约瑟夫环问题的几种巧妙解法,面试官满意的笑了

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8.22 约瑟夫问题

约瑟夫问题小结

约瑟夫问题特殊场景下的特殊解法

约瑟夫问题特殊场景下的特殊解法