BZOJ5294 [BJOI2018] 二进制 线段树

Posted 2020-11-01 Menhera

BJOI的题目感觉有点难写

题目分析：

　　首先推一波结论。接下来的一切都在模3意义下

　　现在我们将二进制位重组，不难发现的是2^0≡1,2^1≡2,2^2≡1,2^3≡2....所以我们考虑这样的式子

　　2*a+b≡0 mod 3

　　其中a+b为某个区间的1的个数，令它为tot。试着带几个值看看。

　　2*1+1+3k≡0;

　　2*2+2+3k≡0;

　　2*3+0+3k≡0;

　　可以发现a和b实际上在任何时候都有a≡b。也就是说a≡tot-a。

　　这等价于2*a≡tot。对于每一个tot，我们把它对应最好的a写出来，会发现当(tot%6)%2==0的时候，这个区间在任何时候都满足它可以通过重组被3整除。

　　否则它的这个区间至少需要2个0，这是因为你重组之后结果是余1，这时候你需要将一个奇数位换到一个偶数位，所以你需要2个0来新构建一个偶数位。

　　这里需要注意，1的情况是特殊的，它无论如何也不能被3整除。

　　接着我们得到了结论，当(tot%6)%2==0或者(tot%6)%2==1且该区间中至少有2个0，那么该区间可以通过重组被3整除。

　　考虑问题的反面，有多少个区间不可以被3整除，这就等价于找(tot%6)%2==1且该区间只有1个0或没有0的区间的个数，这个问题是线段树的一个基本操作。

　　该区间的所有子区间的个数等于一个等差数列。线段树通过维护第一个1，第二个1，第一个0，第二个0，最后一个0，倒数第二个0，最后一个1，倒数第二个1的位置和不满足的子区间数。可以很好的合并。

　　时间复杂度O(nlogn)，由于维护的信息比较多，常数很大。

代码：

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 105000;

struct node{
    long long hh; //1,3,5
    int l1,l2,r1,r2;
    int p1,p2,q1,q2;
}T[maxn<<2];

int wh[maxn];
int n,q;
node ans;//int rl,rr;

int dm[6],md[6];

void get_height(int l,int r,int *d,int now = 0){
    if(now == 0) for(int i=0;i<6;i++) d[i]=0;
    if(l > r) return;
    int len = r-l+1;
    for(int i=0;i<6;i++){
    d[(i+l-1)%6] += (len/6)+(len%6>=i);
    if(i == 0)d[(i+l-1)%6]--;
    }
}

node merge(node a,node b,int l,int mid,int r){
    if(l > mid) return b;
    node z;
    
    z.hh = a.hh+b.hh;
    z.l1 = z.l2 = z.r1 = z.r2 = z.p1 = z.p2 =z.q1 = z.q2 = 0;
    
    int mem = mid-a.r1,nen = b.l2-mid-1;
    int lem = mid-a.r2,len = b.l1-mid-1;
    
    if(b.l2==0)nen = r-mid; if(a.r1==0)mem=mid-l+1;
    if(b.l1 == 0)len = r-mid; if(a.r2==0)lem=mid-l+1;
    get_height(1,mem,dm);get_height(1,len,md);
    get_height(1+len,nen-1,md,1);
    if(b.l1) md[len%6]++;
    for(int i=0;i<6;i++){
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(7-i)%6];
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(9-i)%6];
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(11-i)%6];
    }
    
    get_height(mem+1,lem-1,dm);get_height(1,len,md);
    if(a.r1) dm[mem%6]++;
    for(int i=0;i<6;i++){
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(7-i)%6];
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(9-i)%6];
    z.hh += 1ll*dm[i]*md[(11-i)%6];
    }
    
    lem = mid-a.q2-(mid-a.q1),len = b.p1-mid-1;
    if(a.q2 == 0)lem = (a.q1==0?0:mid-l+1-(mid-a.q1));
    if(b.p1 == 0)len = r-mid;
    z.hh += 1ll*lem*len;
    if(a.q1==mid&&b.l1==mid+1)z.hh--;
    
    lem = mid-a.q1,len = b.p2-mid-1-(b.p1-mid-1);
    if(a.q1 == 0)lem = mid-l+1;
    if(b.p2 == 0)len = (b.p1==0?0:r-mid-(b.p1-mid-1));
    z.hh += 1ll*lem*len;
    if(a.r1==mid&&b.p1==mid+1)z.hh--;

    int num = 0;
    if(a.l1) dm[++num]=a.l1; if(a.l2) dm[++num]=a.l2;
    if(b.l1) dm[++num]=b.l1; if(b.l2) dm[++num]=b.l2;
    if(num>=1) z.l1 = dm[1];
    if(num>=2) z.l2 = dm[2];
    
    num = 0;
    if(b.r1) dm[++num]=b.r1; if(b.r2) dm[++num]=b.r2;
    if(a.r1) dm[++num]=a.r1; if(a.r2) dm[++num]=a.r2;
    if(num>=1) z.r1 = dm[1];
    if(num>=2) z.r2 = dm[2];
    
    num = 0;
    if(a.p1) dm[++num]=a.p1; if(a.p2) dm[++num]=a.p2;
    if(b.p1) dm[++num]=b.p1; if(b.p2) dm[++num]=b.p2;
    if(num>=1) z.p1 = dm[1];
    if(num>=2) z.p2 = dm[2];

    num = 0;
    if(b.q1) dm[++num]=b.q1; if(b.q2) dm[++num]=b.q2;
    if(a.q1) dm[++num]=a.q1; if(a.q2) dm[++num]=a.q2;
    if(num>=1) z.q1 = dm[1];
    if(num>=2) z.q2 = dm[2];
    return z;
}

void init(int now,int pla){
    if(wh[pla] == 0){
    T[now].hh = 0;
    T[now].l1 = T[now].r1 = pla;
    T[now].l2 = T[now].r2 = 0;
    T[now].q1 = T[now].q2 = T[now].p1 = T[now].p2 = 0;
    }else{
    T[now].hh=0;
    T[now].p1 = T[now].q1 = pla; T[now].hh=1;
    T[now].p2 = T[now].q2 = 0;
    T[now].l1 = T[now].r1 = T[now].l2 = T[now].r2 = 0;
    }
}

void Modify(int now,int l,int r,int pla){
    if(l == r){init(now,pla);return;}
    int mid = (l+r)/2;
    if(mid >= pla) Modify(now<<1,l,mid,pla);
    else Modify(now<<1|1,mid+1,r,pla);
    T[now] = merge(T[now<<1],T[now<<1|1],l,mid,r);
}

void Query(int now,int tl,int tr,int l,int r){
    if(tl >= l && tr <= r){ans = merge(ans,T[now],l,tl-1,tr);return;}
    if(tr < l || tl > r) return;
    int mid = (tl+tr)/2;
    Query(now<<1,tl,mid,l,r);
    Query(now<<1|1,mid+1,tr,l,r);
}

void build_tree(int now,int l,int r){
    if(l == r){init(now,l);return;}
    int mid = (l+r)/2;
    build_tree(now<<1,l,mid);
    build_tree(now<<1|1,mid+1,r);
    T[now] = merge(T[now<<1],T[now<<1|1],l,mid,r);
}

void read(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&wh[i]);
    build_tree(1,1,n);
}

void work(){
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
    int x; scanf("%d",&x);
    if(x == 1){
        int p; scanf("%d",&p);
        wh[p] ^= 1;
        Modify(1,1,n,p);
    }else{
        int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
        Query(1,1,n,l,r);
        long long res = 1ll*(2+r-l)*(r-l+1)/2;
        printf("%lld\n",res-ans.hh);
    }
    }
}

int main(){
    read();
    work();
    return 0;
}