BZOJ5291/洛谷P4458/LOJ#2512 [Bjoi2018]链上二次求和 线段树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了BZOJ5291/洛谷P4458/LOJ#2512 [Bjoi2018]链上二次求和 线段树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
原文链接http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/9031130.html
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题目传送门 - BZOJ5291
推荐LOJ和洛谷，题面质量好，而且不卡常数。
BZOJ题面烂，而且要卡那么一点点常数。
题意
有一条长度为$n$的链$\\forall 1≤i<n$，点$i$与点$i+1$之间有一条边的无向图），每个点有一个整数权值，第$i$个点的权值是$a_i$。现在有$m$个操作，每个操作如下：
操作 1（修改）：给定链上两个节点$u$、$v$和一个整数$d$，表示将链上$u$到$v$唯一的简单路径上每个点权值都加上$d$。
操作 2（询问）：给定两个正整数$L$、$R$，表示求链上所有节点个数大于等于$L$且小于等于$R$的简单路径节点权值和之和。由于答案很大，只用输出对质数$1000000007$取模的结果即可。
一条节点个数为$k$的简单路径节点权值和为这条上所有$k$个节点（包括端点）的权值之和，而本题中要求是对所有满足要求的简单路径，求这一权值和的和。
由于是无向图，路径也是无向的，即点$1$到点$2$的路径与点$2$到点$1$的路径是同一条，不要重复计算。
题解
记$S_x[i]=\\sum_{j=1}^{i} x[j]$，则我们现在来推一下式子。
对于询问，我们要求的是：
$$\\begin{align*}\\sum_{i=L}^{R}\\sum_{j=i}^{n}S_a[j]-S_a[j-i]&=\\sum_{i=L}^{R}(\\sum_{j=i}^{n}S_a[j]-\\sum_{j=0}^{n-i}S_a[j])\\\\&=\\sum_{i=L}^{R}(S_{S_a}[n]-S_{S_a}[i-1]-S_{S_a}[n-i])\\\\&=(R-L+1)S_{S_a}[n]-\\sum_{i=L-1}^{R-1}S_{S_a}[i]-\\sum_{n-R}^{n-L}S_{S_a}[i]\\end{align*}$$
只需要维护$S_{S_a}$的前缀和就可以了。
考虑分类讨论区间加对$S_{S_a}$的贡献。
在$L$~$R$区间加$v$的贡献为：
记$len=R-L+1$，
对于$L\\leq i\\leq R$，$S_{S_a}[i]=S_{S_a}[i]+\\cfrac{(i-L+1)(i-L+2)}{2}v$。
对于$i>R$，$S_{S_a}[i]=S_{S_a}[i]+\\cfrac{len(len+1)}{2}v+len(i-R)v$。
注意一下，对于修改，$L$和$R$可能是$L>R$的，我这里默认了$L\\leq R$。
于是这个区间加对于$S_{S_a}$的贡献可以转化成一个关于$i$的二次函数。
可以用线段树来维护。
在BZOJ上面，略微卡一点常数。建议在标记下传的时候，如果三个标记都为$0$就直接退出。
题解参考了：https://blog.csdn.net/cdsszjj/article/details/80286084
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200005;
const LL mod=1e9+7;
int n,m,a[N];
LL cv1[N],cv2[N];
struct Seg{
LL v,v0,v1,v2;
LL s0,s1,s2;
}t[N<<2];
void build(int rt,int L,int R){
t[rt].v0=t[rt].v1=t[rt].v2=0;
t[rt].s0=R-L+1;
if (L>0){
t[rt].s1=(cv1[R]-cv1[L-1]+mod)%mod;
t[rt].s2=(cv2[R]-cv2[L-1]+mod)%mod;
}
else
t[rt].s1=cv1[R],t[rt].s2=cv2[R];
if (L==R){
t[rt].v=a[L];
return;
}
int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
build(ls,L,mid);
build(rs,mid+1,R);
t[rt].v=(t[ls].v+t[rs].v)%mod;
}
void addrt(int rt,LL d0,LL d1,LL d2){
t[rt].v=(t[rt].v+d0*t[rt].s0+d1*t[rt].s1+d2*t[rt].s2)%mod;
t[rt].v0=t[rt].v0+d0;
t[rt].v1=t[rt].v1+d1;
t[rt].v2=t[rt].v2+d2;
if (t[rt].v0>=mod)t[rt].v0-=mod;
if (t[rt].v1>=mod)t[rt].v1-=mod;
if (t[rt].v2>=mod)t[rt].v2-=mod;
}
void pushdown(int rt){
if (!t[rt].v0&&!t[rt].v1&&!t[rt].v2)
return;
int ls=rt<<1,rs=ls|1;
addrt(ls,t[rt].v0,t[rt].v1,t[rt].v2);
addrt(rs,t[rt].v0,t[rt].v1,t[rt].v2);
t[rt].v0=t[rt].v1=t[rt].v2=0;
}
void update(int rt,int L,int R,int xL,int xR,LL d0,LL d1,LL d2){
if (xL>xR)
return;
if (xL<=L&&R<=xR){
addrt(rt,d0,d1,d2);
return;
}
int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
pushdown(rt);
if (xR<=mid)
update(ls,L,mid,xL,xR,d0,d1,d2);
else if (xL>mid)
update(rs,mid+1,R,xL,xR,d0,d1,d2);
else {
update(ls,L,mid,xL,mid,d0,d1,d2);
update(rs,mid+1,R,mid+1,xR,d0,d1,d2);
}
t[rt].v=(t[ls].v+t[rs].v)%mod;
}
LL query(int rt,int L,int R,int xL,int xR){
if (xL>xR)
return 0;
if (xL<=L&&R<=xR)
return t[rt].v;
int mid=(L+R)>>1,ls=rt<<1,rs=ls|1;
pushdown(rt);
if (xR<=mid)
return query(ls,L,mid,xL,xR);
else if (xL>mid)
return query(rs,mid+1,R,xL,xR);
else
return (query(ls,L,mid,xL,xR)+query(rs,mid+1,R,xL,xR))%mod;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++){
cv1[i]=(cv1[i-1]+i)%mod;
cv2[i]=(cv2[i-1]+1LL*i*i)%mod;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]),a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
for (int i=1;i<=n;i++)
a[i]=(a[i]+a[i-1])%mod;
build(1,1,n);
for (int i=1;i<=m;i++){
int opt,L,R;
LL v;
scanf("%d%d%d",&opt,&L,&R);
if (L>R)
swap(L,R);
if (opt==2){
L=max(L,1);
LL s1=query(1,1,n,n,n)*(R-L+1)%mod;
LL s2=query(1,1,n,max(L-1,1),R-1);
LL s3=query(1,1,n,max(n-R,1),n-L);
printf("%lld\\n",(s1-s2-s3+mod+mod+mod)%mod);
}
else {
scanf("%lld",&v);
LL len=R-L+1,iv2=500000004,vv=v*iv2%mod;
update(1,1,n,L,R,vv*(L-1)%mod*(L-2)%mod,vv*(3-2*L+mod)%mod,vv);
update(1,1,n,R+1,n,((len*(len+1)/2%mod*v-len*v%mod*R)%mod+mod)%mod,v*len%mod,0);
}
}
return 0;
}
以上是关于BZOJ5291/洛谷P4458/LOJ#2512 [Bjoi2018]链上二次求和 线段树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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