博弈知识整理

Posted 2020-11-01 方方的小迷妹

一直害怕博弈论的题目，觉得最优不最优什么的都好扯淡啊。。。

现在终于鼓起勇气学习一下。

一、巴什博奕）

描述：有两个人 面对 一堆 物品，总共n个，每次每个人最少取一个，最多取m个，最后取完者获胜。

分析：显然，如果有小于m个，那先取者获胜；如果有m+1个，后取者总能获胜。所以某玩家只要当前形势是m+1个，或者m+1个的倍数，那么他最后肯定能获胜的啦~~

即，n = (m+1)*r + s，那么取s个就好啦~~~

变种：报数，每个人当前最多报m‘个数，最少报1个数，谁先报数100个谁赢。

 

二、威佐夫博奕（Wythoff Game）

描述：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜

暂时没遇到这样的题目。。。

 

三、尼姆博弈

一共有n堆，两个人每次从一堆取出石头，最后取出者赢；

变形：最后取出者输。

解决办法：

奇异态先手输，否则先手赢；单数如果变形，要判断奇偶，再按照这条规则。

 

描述：有三堆或者多堆若干多物品，两个人每次轮流选，每次最多不限，最少选1个，取完者获胜。。。

 

推荐HDOJ题目
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1907
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2509

都是变形的尼姆博弈

 

分析：我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。那么我们只要将当前局势变为奇异局势即可（任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。）

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c,我们只要将 c 变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。

注意，当最后一个取完的是赢者的时候，那么当前奇异态是先手必赢的状态，

当最后一个取完的是输者的时候，先判断是否都是非充裕堆（为1），全为1判断奇偶，在判断当前是否是奇异态。

例如 hdu1907，最后取完的是输者。虽然不知道为什么要判断奇偶真的不知道。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

 

 

 

好吧好吧，接下来就是sg函数了

上模板

int mex(set<int>&s){
    int a = 0;
    if(s.count(a))
        a++;
    return a;
}
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        int sg[1010] = {0};
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            set<int>s; 
            for(int j = 0;j < numd;j++){
                if(i - d[j] < 0)
                    continue;
                s.insert(sg[i-d[j]]);
            }
            sg[i] = mex(s);
        }
        if(sg[n] == 0){
            cout << "后手" << endl;
        }
        else
         cout <<"先手" << endl; 
        
    }