读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完整信息的动态博弈 预备知识
完整信息的动态博弈 预备知识
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
动态博弈(Dynamic Games)
静态博弈是每个玩家同时(并且在不知道其他玩家选择的情况下)做出选择。
动态博弈引进了玩家做出选择的先后次序。
注意：玩家i做出了选择后，玩家j知道玩家i做出了选择，但是不一定知道玩家i做出了什么选择。
扩展形式博弈(The Extensive-Form Game)
扩展形式博弈的表达结构:
- Set of player, N.
- Players payoff as a function of outcomes, \\(\\{ v( \\cdot ) \\}_{i \\in N}\\).
- Order of moves.
- Actions of players when they can move.
- The knowledge that players have when they can move.
- Probability distributions over exogenous events.
"exogenous"是指预先确定的分布概率自然选择（不依赖于玩家的选择） - The structure of the extension-form game represented by 1-6 is common knowledge among all the players.
博弈树(game tree)
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博弈树
博弈树用来表示扩展形式博弈。
一个博弈树是一个带先后关系\\(x > x\'\\)的节点集合\\(x \\in X\\)。
\\(x > x\'\\)表示x在x\'之前。
每个节点只有一个父。
先后关系(precedence relation)具有：
传递性(transitive): \\(x > x\', x\' > x\'\' \\implies x > x\'\'\\)
不对称性(asymmetric): \\(x > x\' \\implies \\ not \\ x\' > x\\)
不完整性(incomplete): 不是每一对x, y有先后次序。
有一个根节点，标记为\\(x_0\\)，是其它所有节点的祖先。
没有子的节点称为末端节点(terminal nodes)，表示为\\(Z \\subset X\\)。
末端节点表示为结果，并关联收益函数。
非末端节点被赋予1)一个玩家\\(i(x)\\)，和行动集合\\(A_i(x)\\)，或者2)自然(Nature)。 -
信息集合列表(the collection of information set of player i)
玩家i的信息集合(information set)列表，每个信息集合\\(h_i \\in H_i\\)博弈树中的玩家i运行的部分节点，具有以下属性：- 如果\\(h_i = \\{ x \\}\\)是一个单例集合，则运行\\(x\\)的玩家i知道他位于\\(x\\)节点上。
- 如果\\(h_i = \\{ x, x\', \\cdots \\}\\)，则运行\\(x\\)的玩家i不知道他位于\\(x\\)节点上还是位于\\(x\'\\)节点上。
- 如果\\(h_i = \\{ x, x\', \\cdots \\}\\)，则\\(A_i(x\') = A_i(x)\\)。
更多的解释，这是为完美信息的定义打铺垫。
如果玩家i的信息集列表都是\\(h_i = \\{ x \\}\\)，则表明玩家i知道：1) 行动次序, 2)对方的行动是什么。
如果玩家i的信息集列表存在是\\(h_i = \\{ x, x\', \\cdots \\}\\)，则表明玩家i知道：1) 行动次序。但是不知道： 1）对方的行动是什么。
这是导致玩家i： 1）性质2：不决定位于博弈树上的那个节点，因此，性质3：\\(A_i(x\') = A_i(x)\\)也必然成立。
- 完美信息博弈
一个完整信息博弈中，每个玩家i的每个信息集都是单例集合，并且没有自然(Nature)选择，则这个博弈是完美信息博弈。 - 不完美信息博弈
一个完整信息博弈中，存在一些信息集不是单例集合，或者有自然(Nature)选择，则这个博弈是完美信息博弈。
可以将自然选择理解为掷骰子、抽签、盲牌。
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扩展形式博弈的纯策略
玩家i的一个纯策略是一个完整计划，描述了在每一个信息集合上，玩家i会选择哪个纯行动。 -
扩展形式博弈的纯策略
玩家i的一个纯策略是影射: \\(s_i: H_i \\to A_I\\),对于每个信息集\\(h_i \\in H_i\\)，有\\(s_i(h_i) \\in A_i(h_i)\\)
\\(A_i(h_i)\\)表示玩家i的一个信息集对应的行动集合。 -
扩展形式博弈的策略数
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混合策略(mixed strategy)
一个混合策略是一个在各个纯策略上的概率分布。 -
行为策略(behavioral strategy)
一个行为策略：对每一个信息集\\(h_i \\in H_i\\)，有一个在各个行动\\(a_i(h_i) \\in A_i(h_i)\\)上的概率分布，表示为
\\(\\sigma_i : H_i \\to \\Delta A_i(h_i)\\)
\\(\\sigma_i(a_i(h_i))\\) : 玩家i，在信息集\\(h_i\\)上，选择行动\\(a_i(h_i) \\in A_i(h_i)\\)的概率。 -
纯策略 vs 混合策略 vs 行为策略
纯策略使用一个行动作为策略结果。
混合策略在玩游戏前是一个行为的概率分布，最终还是使用了一个纯策略。
行为策略在玩游戏前和玩的时候，都是一个行为的概率分布。 -
完美回忆博弈(a game of perface recall)
在完美回忆博弈中，每个玩家都不会忘记之前知道的信息集。 -
均衡路径(the equilibrium path)
在一个扩展形式博弈中，行为策略的纳什均衡\\(\\sigma^* = (\\sigma_1^*, \\cdots, \\sigma_n^*)\\)。
如果一个信息集有可能到达这个纳什均衡\\(\\sigma^*\\)，则称这个信息集在均衡路径上。
如果一个信息集不可能到达这个纳什均衡\\(\\sigma^*\\)，则称这个信息集不在均衡路径上。
参照
- Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)