稀疏表示

Posted 2020-11-01

稀疏表示定义

稀疏表示的数学本质就是稀疏正规化约束下的信号分解。随着信号和图像处理技术的不断发展, 如何利用信号和图像的成分(如主成分、次成分、独立成分、稀疏成 分、 形态成分等)来表示信号和图像已成为很多信号和 图像处理任务, 例如压缩、重构、抑噪和特征提取等的研 究热点, 并有着相当重要的意义。如何通过最小数量的系数尽可能更多的描述信号的能量、图像的信息容量成为研究信号与图像表示方法的一个问题。不同类型的信号，图像其在不同变换下系数的分布会不同。传统的信号表示理论大多基于非冗余的正交基函数的变换, 如傅立叶变换、小波变换等. 但傅立叶变换无法表达信号的时频局域性 质,而小波变换虽在处理具有点状奇异性的信号时具 有良好的特性, 但由一维小波张成的可分离小波只具 有有限的方向, 不能/ 最优0表示含线或者面奇异的高 维函数. 为了更好地表示信号和图像, 最近几年, 在正 交小波变换的基础上, 又提出了许多新的变换方法, 如 脊波(Ridgelet)、曲波(Curvelet)、带波(Bandelet)、 轮廓波(Contourlet)[11]等变换. 基于这些变换, 普遍采用 的是超完备(over complete) 冗余表示, 其基本思想是基 函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代, 字 典中的元素被称为原子, 信号由原子的线性组合来表 示. 其中原子的数目比信号的维数大( 得多), 由此产生 了冗余. 由于这种超完备性, 就有很多表示信号的方法, 其中具有最少系数( 最稀疏)的表示是最简单的, 也 是我们认为最优的一种表示方法。[1]

稀疏表示模型

现有稀疏表示模型一般形式如下：
X=argmin||y-Dx||k+λ||x||
其中，y 为观测数据， D 为字典， x 为待估稀疏向量， λ 为正则参数， k （1≤ k<2 ）为稀疏度量。其中，λ 与 k 未知， 需要预先确定（ 虽然通常取 k =1 ， 但 k <1 时模型更加灵活）。对该模型的理论研究， 主要包括模型解与 l0 范数最小化解的逼近程度、 稀疏表示模型解的唯一性与稳定性等。但是， 在一些具体的应用如图像增强与测控资源优化配置中， 稀疏度量并不是唯一且最重要的指标。[2]

模型求解算法

上述模型的求解划分为基于数学模型的求解算法， 如基追踪、 Focuss 、Shrinkage 等， 以及不考虑数学模型的求解算法， 如匹配追踪算法族等。但现有的算法多存在一个待解决问题， 即需预先确定正则参数 λ 与表征稀疏度的参数 k ， 然后进行求解。若解未达到要求， 则重新调整两个参数的值， 直至得到满意解。这使得模型在应用中不能达到自动化的程度，限制了稀疏表示方法的应用。[2]

字典学习算法

最初在稀疏表示研究领域， 一般假定字典已知， 仅求解未知稀疏向量。现已有学者研究字典的选择与学习方法用于字典未知的情况。现有的字典学习方法可分为两种类型： 基于训练样本与基于参数化字典 。其中， 后者较为困难， 需深入分析所研究的信号的特点与描述方法。对字典学习的过程一般采用两步法， 与稀疏表示模型求解相结合。[2]
参考文献
[1] 李映, 张艳宁, 许星. 基于信号稀疏表示的形态成分分析: 进展和展望[D]. , 2009.
[2] 百度百科, wds1315，稀疏表示示， https://baike.baidu.com/item/%E7%A8%80%E7%96%8F%E8%A1%A8%E7%A4%BA/16530498?fr=aladdin, 2017-05-19，2018-04-25.