loj2509 hnoi2018排列

Posted 2020-10-31 Scx117

题意：对于a数组，求它的一个合法排列的最大权值。合法排列：对于任意j,k，如果a[p[j]]=p[k]，那么k<j。

权值：sigma(a[p[i]]*i)。n<=50W。

 

标程：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 ll read()
 5 {
 6    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
 7    while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
 8    while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=getchar();
 9    return x*f;
10 }
11 const int N=500005;
12 vector<ll> vec[N];
13 ll ans,sum[N],he[N],cnt,head[N],n,a[N],fa[N],w[N],sz[N],cn,vis[N],tail[N],f[N];
14 int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
15 struct _node{ll sum,he,sz,id;_node(ll A,ll B,ll C,ll D){sum=A;he=B;sz=C;id=D;}};
16 struct cmp{
17     bool operator () (const _node &A,const _node &B)
18     {return A.he*B.sz>B.he*A.sz||A.he*B.sz==B.he*A.sz&&A.sz<B.sz;}
19 };
20 priority_queue<_node,vector<_node>,cmp> q;
21 int main()
22 {
23     n=read();
24     for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
25     for (int i=1;i<=n;i++) 
26     {
27         a[i]=read();
28         if (0<a[i]&&a[i]<=n) vec[a[i]].push_back(i),fa[i]=a[i]; else fa[i]=-1;
29     }
30     for (int i=1;i<=n;i++) w[i]=read(),q.push(_node(sum[i]=w[i],he[i]=w[i],sz[i]=1,i));
31     while (!q.empty())
32     {
33         int x=q.top().id,fx=fa[find(x)];q.pop();
34         if (vis[x]) continue; vis[x]=1; //dijkstra的思想，肯定先访问最后一次合并过的点，其他过去版本直接continue，这样就不用再记录一个del的堆。
35        if (fx==-1) 
36        {
37            ans+=sum[x]+cn*he[x];
38            for (int i=0;i<vec[x].size();i++)  fa[vec[x][i]]=-1;
39            cn+=sz[x];
40         }
41        else {    
42            if (vis[fx]) return puts("-1"),0; 
43            for (int i=0;i<vec[x].size();i++) f[vec[x][i]]=find(x);
44            sum[fx]+=sum[x]+he[x]*sz[fx];he[fx]+=he[x];sz[fx]+=sz[x];
45            q.push(_node(sum[fx],he[fx],sz[fx],fx));
46         }
47     }
48     printf("%lld\n",ans);
49    return 0;
50 }

 

易错点：1.居然碰到了yhx钦定的最难调错误没有之一，记！

return A.he*B.sz>B.he*A.sz||A.he*B.sz==B.he*A.sz&&A.sz<B.sz;
如果不判定相等的情况就不一定取到最后一个。

2.判断无解：vis表示已经被合并/删除的节点，重新连爸爸后爸爸应该是没有被删除的，如果vis[fa]=1，那么必然矛盾。

3.更改父亲的操作如果用vector暴力加，时间复杂度会到O(n^2)。用并查集保存同父亲的点是最快的做法。

 

题解：堆+并查集+建树+贪心

做法好神。如果a[p[j]]=p[k]，那么k<j：也就是说比如a[1]=3，那么在排列中3一定在1前面。对于1<=a[i]<=n的点，连边a[i]->i，表示先取a[i],再取i。那么就形成了一棵树，如果有环必然无解。

这棵树肯定是每次取一个没有父亲的点作为p[i]。基于贪心，i越小，选越小的w[i]更优。

因此我们每次用堆/set维护权值最小的点，如果它没有父亲肯定直接取走，反之和其父亲合并，表示如果取走父亲后接下来肯定就取它。

合并之后，该点的儿子都连边向它父亲，也就是说fa[son[x]]=fa[x]，可以用并查集维护。这样这个点的权值用sigma/size来代替。

可以证明：1.比较两个点的sigma/size就相当于比较它们sigma(i*w[p[i]])的权值。

2.对于同一个点，sigma/size随着合并不严格单调减。（设he1/sz1<he2/sz2，那么1向2合并，必然有he2/sz2>(he1+he2)/(sz1+sz2)。化简he2/sz2>(he1+he2)/(sz1+sz2)，则he1*sz2<he2*sz1，同假设成立）

时间复杂度O(nlogn+na(n))。