5289: [Hnoi2018]排列

Posted 2021-02-10 mjtcn

5289: [Hnoi2018]排列

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分析：

　　首先将题意转化一下：每个点向a[i]连一条边，构成了一个以0为根节点的树，要求选一个拓扑序，点x是拓扑序中的第i个，那么价值是i*w[x]。让价值最大。

　　然后贪心：直观的考虑，应该让权值小的尽量靠前，那么依次考虑当前最小的权值，一旦选了它的父节点，那么下一个就会选它。将它和父节点合并，新的权值为平均数，并且记录下siz。推广一下即每次选平均数最小的集合，和父节点所在的集合合并。

　　证明：如果当前有两个集合x,y，如果x在前面更优，那么$w[x] + w[y] imes siz[x] > w[y] + w[x] imes siz[y]$

$w[x] imes (siz[y] - 1) < w[y] imes (siz[x] - 1 ) $

$frac{w[x]}{siz[x] - 1} < frac{w[y]}{siz[y] - 1}$

所以x在y前面的条件是平均数小，那么就可以用堆来维护了。注意一下如果平均数比较的话，要开long double，或者直接按照上面的第二个式子来比较，不存在精度问题。

 

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;

inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f;
}

#define pa pair<long double,int>
const int N = 500005;
int fa[N], a[N], siz[N];
LL w[N];

struct Heap{
    priority_queue< pa, vector< pa >, greater< pa > > a, b;
    void Insert(pa x) { a.push(x); }
    void Delete(pa x) { b.push(x); }
    pa Top() {
        while (!b.empty() && a.top() == b.top()) a.pop(), b.pop();
        return a.top();
    }
}q;
int find(int x) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
int main() {
    int n = read();
    for (int i = 0; i <= n; ++i) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        a[i] = read();
        int u = find(a[i]), v = find(i);
        if (u != v) fa[u] = v;
        else { puts("-1"); return 0; }
    }
    LL ans = 0; 
    for (int i = 0; i <= n; ++i) fa[i] = i;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
         w[i] = read(); siz[i] = 1; ans += w[i];
         q.Insert(pa(w[i], i));
    }
    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        pa now = q.Top(); q.Delete(now);
        int x = now.second, y = find(a[x]);  
        if (y) q.Delete(pa((long double)w[y] / siz[y], y));
        ans += 1ll * siz[y] * w[x];
        w[y] += w[x]; siz[y] += siz[x]; fa[x] = y;
        if (y) q.Insert(pa((long double)w[y] / siz[y], y));        
    }
    cout << ans;    
    return 0;
}