大O符号初学者指南

Posted 2020-08-18

原文地址：https://rob-bell.net/2009/06/a-beginners-guide-to-big-o-notation/ 
计算机科学中，大O表示法被用来描述一个算法的性能或复杂度。大O表示法可以用来描述一个算法的最差情况，或者一个算法执行的耗时或占用空间（例如内存或磁盘占用）。 
相信许多人读过《Programming Pearls》（《编程珠玑》）或者其他计算机科学书籍时，在看到大O符号或者其他奇怪的语法符号时都会感觉到自己遇到了一堵无法翻越的高墙。那这篇文章将会带领大家对大O表示法以及对数级算法有一个最简单的认识。 
首先作为一个程序员，其次作为一个数学家，我（Rob Bell）发现透彻的理解大O表示法的最好方式就是来尝试一些代码示例。下面按照算法的增长级别，展示了一些常见的算法描述，同时针对每个算法给出了一个简单的示例。

O(1)

O(1)表示该算法的执行时间（或执行时占用空间）总是为一个常量，不论输入的数据集是大是小。

bool IsFirstElementNull(IList<string> elements)
{
    return elements[0] == null;
}

O(N)

O(N)表示一个算法的性能会随着输入数据的大小变化而线性变化。下面的例子同时也表明了大O表示法其实是用来描述一个算法的最差情况的：在for循环中，一旦程序找到了输入数据中与第二个传入的string匹配时，程序就会提前退出，然而大O表示法却总是假定程序会运行到最差情况（在这个例子中，意味着大O会表示程序全部循环完成时的性能）。

bool ContainsValue(IList<string> elements, string value)
{
    foreach (var element in elements)
    {
        if (element == value) return true;
    }

    return false;
}

O(N^2)

O(N^2)表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出二次增长。最常见的算法就是对输入数据进行嵌套循环。如果嵌套层级不断深入的话，算法的性能将会变为O(N3)，O(N4)，以此类推。

bool ContainsDuplicates(IList<string> elements)
{
    for (var outer = 0; outer < elements.Count; outer++)
    {
        for (var inner = 0; inner < elements.Count; inner++)
        {
            // Don‘t compare with self
            if (outer == inner) continue;

            if (elements[outer] == elements[inner]) return true;
        }
    }

    return false;
}

O(2^N)

O(2^N)表示一个算法的性能将会随着输入数据的每次增加而增大两倍。O(2^N)的增长曲线是一条爆炸式增长曲线——开始时较为平滑，但数据增长后曲线增长非常陡峭。一个典型的O(2^N)方法就是裴波那契数列的递归计算实现。

int Fibonacci(int number)
{
    if (number <= 1) return number;

    return Fibonacci(number - 2) + Fibonacci(number - 1);
}

对数

要说明对数情况，稍稍有点复杂，因此我将使用一个非常通用的示例： 
二分查找是一种用来在有序集合中进行查找的高效算法。二分查找从数据集的中间位置开始，然后用这个中间值和一个目标值进行比较。如果比较结果为相等，则程序返回成功。如果目标值大于中间值，程序会截取从中间值开始到最大值的那段数据集，并重复执行同样的查找方法。想死的，如果目标值小于中间值，程序将会继续在数据集中较小的那一半执行二分查找。二分查找程序会持续的将数据集对等分，以进入下一次循环，直到最终找到与目标值相等的数据后，程序就退出。 
这类算法的性能就会被描述为O(logN)。正是通过这种不断对数据进行对等分的二分查找操作，使得二分查找算法的曲线从一个峰值开始，随着输入数据集的增长而慢慢的变得平缓。用例子来说明的话，例如一个包含10个输入数据的程序需要耗时一秒完成，则一个包含100个输入数据的程序就需要耗时两秒，然后一个包含1000个输入数据的程序就耗时三秒。加倍的输入数据对这类算法的性能结果影响非常小。基于如此，类似于二分查找的对数级算法在处理大量数据集时非常高效。 
本文仅仅覆盖了关于大O表示法以及对数算法非常基本的知识概念。如果想要更深入的理解他们，可以参考维基百科： 
大O表示法：https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation 
对数：https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm