wenbao与欧几里得及线性同余方程

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了wenbao与欧几里得及线性同余方程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

扩展欧几里得:
设 a 和 b 不全为 0, 则存在整数 x 和 y ,使得
gcd(a, b) == x*a + y*b;

 

求解 a*x + b*y = c;   

令 d = gcd(a, b);

若 c % d == 0; 则有解{  a*x ≡ c (mod b)  }

特解可以根据扩欧求得  通解为 X = x + k*(c/d); k ~ [0,d-1]; 

 

令 T = b/d;

最小解为 ( X % T + T ) % T; 

 

 

 

 

 

以下来自博客:http://www.cnblogs.com/nwpuacmteams/articles/5545976.html

欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理:

   定理一:如果d = gcd(a, b),则必能找到正的或负的整数k和l,使d = a*x+ b*y。

   定理二:若gcd(a, b) = 1,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三:若gcd(a, b) = d,则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      证明:上述同余方程等价于ax + by = c,

如果有解,两边同除以d,就有a/d * x + b/d * y = c/d,即a/d * x ≡ c/d (mod b/d),

显然gcd(a/d, b/d) = 1,所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解,即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X,那么令r = b/gcd(a, b),可知x在[0, r-1]上有唯一解,所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了!

(X % r可能是负值,此时保持在[-(r-1), 0]内,正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内,所以再模一下r就在[0, r-1]内了)。

 

 

 推导过程:

 1 //设x、y是第一次递归的值,x1、y1是下一次递归的值,则:
 2 a*x + b*y == gcd(a, b);
 3 gcd(a, b) == gcd(b, a%b);
 4 a*x + b*y == b*x1 + a%b*y1;
 5       == b*x1 + (a - a/b*b)y1;
 6       == b*x1 + a*y1 - a/b*b*y1;
 7       == a*y1 + b(x1 - a/b*y1);
 8 
 9 x == y1;
10 y == x1 - a/b*y1;

 

 

 

 

 扩欧实现

 1 int x , y;
 2 int exgcd(int a, int b){
 3     if(b == 0){
 4         x = 1;
 5         y = 0;
 6         return a;
 7     }
 8     int d , t;
 9     d = exgcd(b, a%b);
10     t = x;
11     x = y;
12     y = t - a/b*y;
13     return d;
14 }

 

 

 小刘

 

1 void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y){
2     if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
3     else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
4 }

 

 

 大神博客:

http://www.cnblogs.com/heweiyou1993/p/3301886.html

 

以下均来以上博客

 

定义

a,b是整数,m是正整数,形如a * x ≡ b (mod m),且x是未知数的同余式称为一元线性同余方程。

理论基础与求解

定理1:假设d = gcd(a , m),假设对于整数xx和yy有 d = a * xx + m * yy。若d|b(d能够整出b),那么方程 a * x ≡ b (mod m)有一个解X满足式子 X = xx * (a/b) % m ,其中xx可以用扩展欧几里得算法获得。

 

证明1:假设上述成立那么有 a * X ≡ a * xx * (b/d)(mod m),由于a * xx ≡ d (mod m),所以可得到 a * X ≡ d * (b/d)(mod m) ≡ b(mod m)。

定理2:对于a * x ≡ b (mod m),若有解则必有d = gcd( a, m)个解。其解为 res = (X + i * ( b / d)) (mod m),其中X为远同余方程的一个解,i的取值范围为 0 <= i < d。

证明2:若定理2成立则有 a * res (mod m) = a * (X + i * (b / d)) (mod m) = a * X + a* i * (b /d) (mod m) = a * X (mod m) = b。

 

最小正整数解

由于一元线性同余方程的通解可以写成res = ( X + i * (b /d) )  (mod m) = X + i * (m/d) + m * y,由于 y 与 i 均为变量因此可以将其合并得到式子 res = X + y * ( m/d)   (其中将原式中的 m * y 看做 m/d  * d * y,由于y是变量因此可以将 d*y这个整体看为 y),因此可以得到res = X(mod m/d) ,设m/d 为 t ,其最小正整数解可表示为 (X%t + t) % t。

 

 

 

 

 

@  五指山

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemShow.php?problem_id=84

 

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 ll x, y, d, xx, yy, M, a, b;
 5 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){
 6     if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
 7     else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
 8 }
 9 int main(){
10     int t;
11     cin >> t;
12     while(t--){
13         cin >> b >> a >> xx >> yy;
14         ll M = yy - xx;
15         exgcd(a, b, d, x, y);
16         if(M % d == 0){
17             x = x * (M/d);
18             ll w = b/d;
19             cout << (x%w + w) %w<<endl;
20         }else{
21             cout << "Impossible" << endl;
22         }
23     }
24     return 0;
25 }

 

 

 

http://poj.org/problem?id=2115

求循环次数

 

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 ll x, y, d, xx, yy, M, a, b;
 5 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){
 6     if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
 7     else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
 8 }
 9 int main(){
10     while(cin >> xx >> yy >> a >> b){
11         if(xx == 0 && yy == 0 && a == 0 && b == 0) break;
12         b = 1LL << b;  //这里需要强制转化一下。。。。
13         M = yy - xx;
14         exgcd(a, b, d, x, y);
15         if(M % d == 0){
16             x = x * (M/d);
17             ll w = b/d;
18             cout << (x%w + w) %w<<endl;
19         }else{
20             cout << "FOREVER" << endl;
21         }
22     }
23     return 0;
24 }

 

 

 

@  http://poj.org/problem?id=2142

    天平称重  

  

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 using namespace std;
 4 int a, b, c, d, x, y, w, M, X1, Y1, X2, Y2, mi, N;
 5 void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y){
 6     if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
 7     else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
 8 }
 9 int main(){
10     while(cin>>a>>b>>c,a,b,c){
11         exgcd(a, b, d, x, y);
12         x = x*(c/d);
13         w = b/d;
14         X1 = (x%w + w)%w;
15         Y1 = (c-a*X1)/b;
16         if(Y1<0) Y1 = -Y1;
17         y = y*(c/d);
18         w = a/d;
19         Y2 = (y%w + w)%w;
20         X2 = (c-Y2*b)/a;
21         if(X2<0) X2 = -X2;
22         if(X1+Y1<X2+Y2) cout<<X1<< " " <<Y1 << endl;
23         else cout << X2 << " " << Y2<<endl;
24     }
25     return 0;
26 }

 

 

 

http://codeforces.com/contest/724/problem/C、

光线反射

 

啦啦啦啦。。。。就是这个题让我学习了拓展欧几里得。。。

 

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 #define INF 1e15
 5 ll n, m, k, mx, xx, yy, a, b, d, x, y, sum, M;
 6 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){
 7     if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
 8     else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b);
 9 }
10 void solve(ll c, ll xx){
11     if(c%d != 0) return ;
12     sum =min(sum,((x*(c/d))%M+M)%M*n+xx);
13 }
14 int main(){
15     cin >> n >> m >> k, n*=2, m*=2;
16     exgcd(n, m, d, x, y), M = m/d;
17     while(k--){
18         sum = INF;
19         cin >> xx >> yy;
20         solve(yy-xx, xx), solve(m-yy-xx, xx), solve(yy-n+xx, n-xx), solve(m-yy-n+xx, n-xx);
21         cout<<(sum == INF ? -1 : sum)<<endl;
22     }
23 }

 

 

以下来自大神博客http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595

扩展欧几里德算法

    谁是欧几里德?自己百度去

    先介绍什么叫做欧几里德算法

    有两个数 a b,现在,我们要求 a b 的最大公约数,怎么求?枚举他们的因子?不现实,当 a b 很大的时候,枚举显得那么的naïve ,那怎么做?

    欧几里德有个十分又用的定理: gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ,这样,我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了,这就是欧几里德算法,用 C++ 语言描述如下:

    

 

    由于是用递归写的,所以看起来很简洁,也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢?

    现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ,那么,我们一定能够找到这样的 x 和 y ,使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程(其实是一种丢番图方程),有多解是一定的,但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么,我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解:

        x = x0 + (b/gcd)*t

        y = y0 – (a/gcd)*t

    为什么不是:

        x = x0 + b*t

        y = y0 – a*t

    这个问题也是在今天早上想通的,想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为:

    b/gcd 是 b 的因子, a/gcd 是 a 的因子是吧?那么,由于 t的取值范围是整数,你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多?同理,(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多?那肯定又要问了,那为什么不是更小的数,非得是 b/gcd 和a/gcd ?

    注意到:我们令 B = b/gcd , A = a、gcd , 那么,A 和 B 一定是互素的吧?这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗?要是实在还有什么不明白的,看看《基础数论》(哈尔滨工业大学出版社),这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚

    现在,我们知道了一定存在 x 和 y 使得 : a*x + b*y = gcd , 那么,怎么求出这个特解 x 和 y 呢?只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

    我们观察到:欧几里德算法停止的状态是: a= gcd , b = 0 ,那么,这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢?因为,这时候,只要 a = gcd 的系数是 1 ,那么只要 b 的系数是 0 或者其他值(无所谓是多少,反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1),这时,我们就会有: a*1 + b*0 = gcd

    当然这是最终状态,但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢?

    假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数,并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ,而我们已经求出了下一个状态:b 和 a%b 的最大公约数,并且求出了一组x1 和y1 使得: b*x1 + (a%b)*y1 = gcd , 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢?

    我们知道: a%b = a - (a/b)*b(这里的 “/” 指的是整除,例如 5/2=2 , 1/3=0),那么,我们可以进一步得到:

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

            = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

            = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    对比之前我们的状态:求一组 x 和 y 使得:a*x + b*y = gcd ,是否发现了什么?

    这里:

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

    以上就是扩展欧几里德算法的全部过程,依然用递归写:

    

 

    依然很简短,相比欧几里德算法,只是多加了几个语句而已。

    这就是理论部分,欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数,但是扩展欧几里德算法就不同了,我们既可以求出最大公约数,还可以顺带求解出使得: a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

    扩展欧几里德有什么用处呢?

    求解形如 a*x +b*y = c 的通解,但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来,都是让你在通解中选出一些特殊的解,比如一个数对于另一个数的乘法逆元

    什么叫乘法逆元?

    

    这里,我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

    这怎么求?可以等价于这样的表达式: a*x + m*y = 1

    看出什么来了吗?没错,当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件: c % gcd(a , b) == 0

    接着乘法逆元讲,一般,我们能够找到无数组解满足条件,但是一般是让你求解出最小的那组解,怎么做?我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么,我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么?

可以这样思考:

    x 的通解不是 x0 + m*t 吗?

    那么,也就是说, a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的,那么根据最小整数原理,一定存在一个最小的正整数,它是 a 关于m 的逆元,而最小的肯定是在(0 , m)之间的,而且只有一个,这就好解释了。

    可能有人注意到了,这里,我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ,但是想想一下就明白了,gcd = 1,所以写了跟没写是一样的,但是,由于问题的特殊性,有时候我们得到的特解 x0 是一个负数,还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办?

    当 m 是负数的时候,我们取 m 的绝对值就行了,当 x0 是负数的时候,他模上 m 的结果仍然是负数(在计算机计算的结果上是这样的,虽然定义的时候不是这样的),这时候,我们仍然让 x0 对abs(m) 取模,然后结果再加上abs(m) 就行了,于是,我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元:

    

 

只有不断学习才能进步!

 

以上是关于wenbao与欧几里得及线性同余方程的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

『线性同余方程和中国剩余定理』

数论笔记-同余

《夜深人静写算法》数论篇 - (11) 线性同余

《夜深人静写算法》数论篇 - (11) 线性同余

POJ 2115C Looooops[一元线性同余方程]

求解模线性方程