扰动法--*BZOJ3157: 国王奇遇记

Posted 2020-10-30 Blue233333

求$\sum_{i=1}^ni^mm^i$。

其实我也不知道这东西为啥叫“扰动法”，大概是在黑暗的边缘试探？就是那种，人家再多一点就被您看破了，然后您就一定要搞他那么一点去试探他的限度，一不小心给他搞爆了，这种感觉。

扰动三连：

等比数列求和：

$\sum_{i=1}^na_i,a_i=a_1*q^{n-1}$。

令$S_n=\sum_{i=1}^na_i$。

给他日上个$n+1$。

$S_n+a_{n+1}$

$=\sum_{i=1}^{n+1}a_i$

$=a_1+q\sum_{i=1}^na_i$

$=a_1+qS_n$

可得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，厉害吧！

自然数幂求和：

$\sum_{i=1}^ni^m$。

令$S_n^m=\sum_{i=1}^ni^m$。

给他日上个$n+1$。

$S_n^m+(n+1)^m$

$=\sum_{i=1}^{n+1}i^m$

$=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^m$

$=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}i^j$

$=1+\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}\sum_{i=1}^ni^j$

$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}S_n^j+S_n^m$

emmmmmm自己把自己日掉了，不虚我们把$m$变成$m+1$。

$S_n^{m+1}+(n+1)^{m+1}$

$=1+\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}$

$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}+(m+1)S_n^m$

已经知道了。$S_n^m=\frac{(n+1)^{m+1}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j}{m+1}$。

可以$m^2$。要是给个好膜数可以$mlogm$。

这道题：