数学物理中的常见误区

Posted 2020-10-28 DocNan

• 多元函数求偏导数时注意区分那些是自变量，那些是函数，以及函数的自变量是什么。自变量之间的偏导都是零，而针对函数的偏导则不一定是零。
  例：在计算阿尔芬波色散关系的时候有这样的式子：
  \[\frac{d}{dx}[(\omega^2-\omega_A^2(x))\frac{dU(x)}{dx}]\]
  上式中\(\frac{d}{dx}\)作用到\(\omega^2\)上就是0，但是作用到\(\omega_A^2(x)\)则非零，因为\(x,\omega\)都是自变量，而\(\omega_A^2\)则是函数。
• 多元傅立叶变换中的等价性：
  对于\(U(\vec{r},t)\to U(x)e^{i(k_y y+k_z z-\omega t)}\)，这时如果有梯度算符\(\nabla\)作用到U上，则梯度算符\(\nabla\)与波数\(\vec{k}=k_y\vec{e_y}+k_z\vec{e_z}\)并不等价。而是有等价关系：
  \[\nabla\Leftrightarrow (\vec{e_x}\frac{d}{dx}+i\vec{k})\]
• 平衡量的微分
  物理中的平衡量一般而言都是针对时间的平衡量\(A_0=A_0(\vec{r})\)，所以对空间变量的微分未必是零。
  \(\frac{\partial A}{\partial t}=0,\ \frac{\partial A}{\partial x}\neq 0\)
• 微分算符的可交换性
  在物理问题中常常出现连续作用的微分算符，有些微分算符还是一些比较复杂的运算。一般而言，只要是相互独立的微分算符都是可以交换顺序的。因为实际物理问题中的多元函数一般都是可微的，并没有数学中要求的那么严格。
  例如：\(\textit{D}=(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{1}{\rho_0\mu_0}(\vec{B_0}\cdot\nabla)^2)\)，这个算符同时也是x的函数而与y,z无关。所以\(\textit{D}\)不可以与\(\frac{\partial}{\partial x}\)交换顺序，但是可以与\(\frac{\partial}{\partial y}\)或\(\frac{\partial}{\partial z}\)交换顺序。即：\(\frac{\partial}{\partial x}(\textit{D}f) \neq \textit{D}\frac{\partial f}{\partial x}\)，但是可以有\(\frac{\partial}{\partial y}(\textit{D}f)=\textit{D}\frac{\partial f}{\partial y}\).
• 极限运算与微积分运算的可交换性
  极限运算和微分运算，极限运算和积分运算都是可以交换先后顺序的，因为无论积分运算或者是微分运算，都是利用极限运算来定义的。
• 对时间的全导数和偏导数是不等价的
  假设有一个时变的标量场\(Q=Q(\vec{r},t)\)则有如下关系：
  \(\frac{dQ}{dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla Q\neq \frac{\partial Q}{\partial t}\)
• 物理规律的适用条件
  从哲学的角度来讲，人类目前领悟的物理定律都源于对自然现象的总结归纳，都还只是对宇宙中绝对真理(自然规律)的近似，所以和真正的自然现象还会存在一定的误差。就连我们已经掌握的物理定律在不同条件下都有不同的近似。
  例：牛顿第二定律，
  \[ \begin{equation} \vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})= \left\{ \begin{array}{l} m\frac{d\vec{v}}{dt} & (low\ speed)\\frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt} & (high\ speed\ v \approx c) \end{array} \right. \end{equation} \]
  例：流体连续方程，
  \[ \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0\Leftrightarrow \begin{array}{l} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (non-compressible\ fluid)\\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\rho\cdot\vec{v}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (compressible\ fluid) \end{array} \end{equation} \]