[BZOJ4872][六省联考2017]分手是祝愿(期望DP)

Posted 2020-10-28 HocRiser

4872: [Shoi2017]分手是祝愿

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 516  Solved: 342
[Submit][Status][Discuss]

Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为

从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏

的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被

改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机

操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，

可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个

策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使

用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定

是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

Input

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

[Submit][Status][Discuss]

期望动规一般有两种实现方式，一种是f[i]表示还剩i步到目标状态，求得的期望值，另一种是f[i]表示从还剩i步到还剩i-1步的期望增量。

这道题用的是后者，注意i步的状态有时会因为误操作而转移到i+1步的状态，这个需要考虑清楚。

对于每个状态，最优开关方式是固定的，就是每次将最大的亮的灯按灭。剩下的就是期望DP了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N=100100,mod=100003;
int n,k,num,v[N];
ll t,b[N];

ll ksm(ll a,ll b){
	ll res;
	for (res=1; b; a=(a*a)%mod,b>>=1)
		if (b & 1) res=(res*a)%mod;
	return res;
}

int main(){
	freopen("bzoj4872.in","r",stdin);
	freopen("bzoj4872.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	rep(i,1,n) scanf("%d",&v[i]);
	for (int i=n; i>=1; i--)
		if (v[i]){
			for (int j=1; j*j<=i; j++)
				if (i%j==0){
					v[j]^=1;
					if (j*j!=i) v[i/j]^=1;
				}
			num++;
		}
	for (int i=n; i; i--) b[i]=(b[i+1]*(n-i)%mod+n)%mod*ksm(i,mod-2)%mod;
	if (n==k || k>num) t=num;
	else{
		for (int i=num; i>k; i--) t=(t+b[i])%mod;
		t=(t+k)%mod;
	}
	rep(i,1,n) t=t*i%mod;
	printf("%lld\n",t);
	return 0;
}