算法主席树

Posted 2020-10-28 oyiya

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法主席树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

这是一篇有关主席树的总结

主席树是什么？

对于原序列的每一个前缀[1···i]建立出一棵线段树维护值域上每个数出现的次数，则其树是可减的

PS：本篇随笔对于主席树的基本内容并没有深刻讲解，主要说明它的一些用法

其实就是很多一堆大量的权值线段树

（什么是权值线段树？就是每个节点维护不是位置，而是权值，比如 \\([1,4]\\) 维护的就是权值等于1到权值等于4的信息）

而且这些线段树还隐含了一个前缀和的功能

最简单的就是一个数列，长度为 \\(n\\) ，那么就建 \\(n\\) 棵权值线段树，第 \\(i\\) 棵权值线段树对应第 \\(i\\) 个数，存的是从第一个数到第 \\(i\\) 个数的信息（建第 \\(i\\) 棵权值线段树的时候，只要先把第 \\(i-1\\) 棵权值线段树复制一份，再把 \\(i\\) 位置上的信息加入中间就可以了）

那么我们如果要知道数列中 \\(l\\) 位置到 \\(r\\) 位置的数的信息，就只要把 \\(r\\) 上的权值线段树减去 \\(l-1\\) 的权值线段树，得到的线段树保存的就是 \\(l\\) 到 \\(r\\) 的信息（其实就是一个差分）

然后我们发现每次都新建整个权值线段树又耗时间又爆内存，并且相邻两棵线段树之间改变的只有一点点内容，其它的都没有变，那对于这些不变的节点就不新建了，直接共用，即多棵权值线段树在某个位置共用一个节点

个人认为，主席树就是共用节点的权值线段树

主席树可以用来干嘛？

主席树的所有操作，基本上都可以说是对应一段区间，那么就都要先差分一下，以下所有功能都是差分之后的

查询区间Kth（第 \\(k\\) 大/小）

主席树中记录的是 \\(num\\) ，即每个数字出现的次数，然后每次判断当前区间的左子树的 \\(num\\) 是否满足条件，再决定走左子树还是右子树（极其类似于Treap）
查询区间出现数字的和

这只要把上面的 \\(num\\) 变成 \\(val\\) ，然后把差分后根节点的 \\(val\\) 输出就行了
查询区间中权值在 \\([l,r]\\) 之间的所有数字的和

把 \\(num\\) 变成了 \\(val\\) 后，不直接返回根节点的值，而是返回主席树上 \\([l,r]\\) 区间的 \\(val\\) 值（因为主席树是权值线段树）

暂知的作用就这几个

几个小套路

如果没有修改只有询问操作，那么可以直接静态主席树。但如果有修改操作，那么就要变成动态了。也就是说我们要有一个东西，可以维护能够修改的前缀和，那就BIT（树状数组）。所以动态主席树，一般就是树状数组套主席树的树套树
如果不是一个数列，而是一棵树上要维护两个节点的信息，那么就把主席树的每个版本变成从父亲继承的就行了，最后的查询就树上差分

这些套路要在题目之中去理解