主席树

Posted 2020-09-29 voyage~st~Imagine

　　前几天新打了一把主席树，感觉萌萌哒。个人感觉主席树像是线段树的增强版。先上一道主席树的模板题：对一个序列a，多次求区间[l,r]第K大是多少，要求解决每次询问的时间复杂度为O(log n)，n为元素个数。直观的想法就是从左到右扫，类似计数排序一样每遇到一个数x就在上一棵线段树的基础上对相应位置+1（权值线段树）。应为建n棵线段树时空消耗大，所以打个离散化+主席树就可以了。貌似并不是太高大上的算法。

　　主席树本身是静态的，不能支持对建好的线段树的修改操作（神犇请自动屏蔽）。那么如果想要每次对原序列进行单元素修改后再查询（区间修改的话orz~~），怎么做呢？没错就是树状数组套主席树，修改O(log^2n)，查询O(log^2n)。原来单靠一个主席树查询O(logn)，修改O(n^2)……可以说是对修改和查询的时间复杂度的平衡吧(然而我还不会如何建树状数组上的主席树，自己写的程序消耗内存n^2直接挂了，哪位神犇传授一下)。

　　下面直接上主席树代码，写了个struct，也不知道最近为什么喜欢打封装。

主席树：

 1 struct PD_tree
 2 {
 3     private:
 4     
 5         struct point
 6         {
 7             long s,e,sum;//sum is to record the number‘s num in [s,e]
 8             point* lson,*rson;
 9         }**root;
10         long leng,turn;
11         
12         void mdy(point* now,long s,long e,long sum)//mordify one‘s point
13         {
14             now->s=s,now->e=e,now->sum=sum;
15         }
16         
17         void work(long s,long e,point* &now)//be started with
18         {
19             long mid;
20             now=new point;
21             mdy(now,s,e,0);
22             if (s==e){
23                 now->lson=now->rson=NULL;
24                 return;
25             }
26             mid=(s+e)/2;
27             work(s,mid,now->lson);
28             work(mid+1,e,now->rson);
29         }
30         
31         void update(long pla,point* form,point* &now)
32         {
33             long s,e,mid;
34             s=form->s,e=form->e;
35             now=new point;
36             mdy(now,s,e,form->sum+1);
37             if (s==e)now->lson=now->rson=NULL;
38                 else {
39                     mid=(s+e)/2;
40                     if (pla<=mid){
41                         now->rson=form->rson;
42                         update(pla,form->lson,now->lson);
43                     } else if (pla>mid){
44                         now->lson=form->lson;
45                         update(pla,form->rson,now->rson);
46                     }
47                 }
48         }
49         
50         long ask(point* form,point* now,long rank)
51         {
52             long delta_lson;
53             if (now->s==now->e)return now->s;
54             delta_lson=now->lson->sum-form->lson->sum;
55             if (rank<=delta_lson)return ask(form->lson,now->lson,rank);
56                 else return ask(form->rson,now->rson,rank-delta_lson);
57         }
58         
59     public:
60         void reBuild(long len,long act_times)
61         {
62             leng=len,turn=0;
63             root=new point*[act_times+1];
64             work(1,len,root[0]);
65         }
66         
67         void Update(long pla)
68         {
69             turn++;
70             update(pla,root[turn-1],root[turn]);
71         }
72         
73         long Ask(long s,long e,long rank)
74         {
75             if (rank>root[e]->sum-root[s-1]->sum)return -1;
76                 else return ask(root[s-1],root[e],rank);
77         }
78 };

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