将军令

Posted 2020-10-27 zubizakeli

  题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3942

 

　题解：

　　当k一定且很小（1或2）时，明显这就成了一道树形dp。也就是说如果你写过HNOI2003消防局的设立的话这道题就可以至少拿75分。（或者你花上几个小时推出+调试k=3时的dp方程就可以拿到90分啦qaq）

　　但是这道题显然不是这么做的。其实我们只要稍稍贪心一下即可。一个明显的性质是在能控制到一个节点的情况下，小队的深度越浅越好。（因为这样它就可以控制更多的点）。

　　我们先任选一个节点为根，把无根树转化成有根树。然后遍历整棵树，维护子节点对父亲节点的要求。再以子节点的信息更新父亲节点即可。

　　我们设v[x]表示节点x上方距离v[x]一定要有一个小队。（当v[x]==1时就是x节点的父亲节点一定要是小队）。那么比较容易发现的更新条件就是：叶子节点的v[]为k；当一个节点的子节点中有一个的v[]为1时该节点就一定是小队；一个小队节点的v[]为（2*k+1）；不满足上述条件时v[x]=min{v[y]|y是x的子节点}-1。

　　但是其实上述思路是有漏洞的。比如当k=1时，其左孩子的v[]为2，其右孩子的v[]为3时，其实该节点的v[]值为2。（因为他左子树中未被覆盖的点可以被右子树覆盖）。我放张图大家理解一下：

　　运用数学归纳法（其实就是找规律qwq）可以得出的结论是：对于节点x的子节点y来说，若v[y]+maxx>=2*k+3（maxx为x节点的子节点中最大的v[]值），则该子节点y不需被考虑。

　　另外，当k==0时该方法无法处理，所以我加了个特判。（当然你也可以在dfs时处理，但加个特判显然更方便=-=）。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define LL long long
#define RI register int
using namespace std;
const int INF = 0x7ffffff ;
const int N = 1e5 + 10 ;

inline int read() {
    int k = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ;
    for( ; !isdigit(c) ; c = getchar())
      if(c == \'-\') f = -1 ;
    for( ; isdigit(c) ; c = getchar())
      k = k*10 + c-\'0\' ;
    return k*f ;
}
struct Edge {
    int to, next ;
}e[N<<1] ;
int n, k, t, ans = 0 ; int head[N] ;
inline void add_edge(int x,int y) {
    static int cnt = 0 ;
    e[++cnt].to = y, e[cnt].next = head[x], head[x] = cnt ;
}
int v[N] ; // x：上面距离x位置一定要有一个小队 
void dfs(int x,int f) {
    int y ; vector<int>hh ;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next) {
        y = e[i].to ;
        if(y == f) continue ;
        dfs(y,x) ;
    }
    int mi = INF, mx = -INF ;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next) {
        y = e[i].to ;
        if(y == f) continue ;
        hh.push_back(v[y]) ;
        mx = max(mx,v[y]), mi = min(mi,v[y]) ;
    }
    if(mi == INF) {
        v[x] = k ; return ;
    }
    sort(hh.begin(),hh.end()) ;
    int mm = hh.size(), i ;
    for(i=0;i<mm;i++) {
        if(hh[i]+mx < (k<<1)+3) break ;
    }
    if(i == mm) {
        v[x] = mx-1 ;
    } else if(f == 0) {
        ans ++ ;
    } else if(hh[i] == 1) {
        ans ++ ; v[x] = (k<<1)+1 ;
    } else v[x] = hh[i]-1 ;
}

int main() {
    n = read(), k = read(), t = read() ;
    if(!k) {
        printf("%d",n) ; return 0 ;
    }
    int x, y ;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        x = read(), y = read() ;
        add_edge(x,y) ; add_edge(y,x) ;
    }
    dfs(1,0) ;
    printf("%d",ans) ;
    return 0 ;
}

View Code

 

——end ;