以下证明来自算法竞赛进阶指南
引理一： 答案就是 \([1,n]\) 之间约数个数最多的最小的数。
证明： 记 \(m\) 是 \([1,n]\) 之间约数个数最多的最小的数。则
- \(\forall i \in [1,m-1],g(i)<g(m)\);
- \(\forall i \in [m+1,n],g(m) \geq g(i)\)。
(1)说明 \(m\) 是一个反质数，(2)说明 \(m\) 以后的数都不是反质数。证毕。
引理二： \([1,n]\) 间的任何数不同质因子个数不会超过十个。
证明： \(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31=200560490130\)。
所以也有所有指数和不超过 \(30\)，因为 \(2^{30}>2 \times 10^9\)。
引理三： 答案必能表示成 \(2^{c_1} \times 3^{c_2} \times 5^{c_3} \times 7^{c_4} \times 11^{c_5} \times 13^{c_6} \times 17^{c_7} \times 19^{c_8} \times 23^{c_9} \times 29^{c_{10}}\)。且对于 \(i < j\)总有 \(c_i \geq c_j\)。\(c_i \geq 0\)。
证明： 倘若分解下来有个底数不属于这十个质数，记这个底数的幂为 \(p^c\)，那么这十个质数里头必定有一个及以上的数不为答案的因子。记这个数为 \(q\)，那么 \(q^c \times m/p^c\)约数个数和原答案相同且更优。
若对于 \(i < j\)有 \(c_i < c_j\)，则可用交换指数的方法证明之。
然后 dfs 指数即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n, ans, hmn;
typedef long long ll;
const int pri[]={0, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
void dfs(int x, int l, ll num, int yue){
if(x==11){
if(hmn<yue) hmn = yue, ans = num;
else if(hmn==yue && ans>num) ans = num;
return ;
}
int t=1;
for(int i=0; i<=l; i++){
dfs(x+1, i, num*t, yue*(i+1));
t *= pri[x];
if(num*t>n) break;
}
}
int main(){
cin>>n;
ans = 2000000005;
dfs(1, 30, 1, 1);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}