欧拉路&欧拉回路

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧拉路&欧拉回路相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1.
如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次,则该路径称为欧拉路径。

如果一个回路是欧拉路径,则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2.
欧拉回路是数学家欧拉在研究著名的德国哥尼斯(Koenigsberg)七桥问题时发现的.

3.
以下判断基于此图的基图连通。

在所有边连通的情况下

如果所有的点的度数都为偶数,那么这是一条欧拉回路

如果存在两个奇度点,那么从一个奇度点出发,最后到达另一个奇点,则称这是一条欧拉道路。

 

无向图存在欧拉回路的充要条件:
一个无向图存在欧拉回路,当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

 

有向图存在欧拉回路的充要条件:
一个有向图存在欧拉回路,所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

 

4.欧拉回路的求解

DFS搜索

求解欧拉回路的思路为:

利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或欧拉回路后,选择一个正确的起始顶点,

用DFS算法遍历所有的边(每条边只遍历一次),遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

 

例题:

骑马修栅栏 Riding the Fences

题目背景

Farmer John每年有很多栅栏要修理。他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

题目描述

John是一个与其他农民一样懒的人。他讨厌骑马,因此从来不两次经过一个栅栏。你必须编一个程序,读入栅栏网络的描述,并计算出一条修栅栏的路径,使每个栅栏都恰好被经过一次。John能从任何一个顶点(即两个栅栏的交点)开始骑马,在任意一个顶点结束。

每一个栅栏连接两个顶点,顶点用1到500标号(虽然有的农场并没有500个顶点)。一个顶点上可连接任意多(>=1)个栅栏。两顶点间可能有多个栅栏。所有栅栏都是连通的(也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏)。

你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。我们如果把输出的路径看成是一个500进制的数,那么当存在多组解的情况下,输出500进制表示法中最小的一个 (也就是输出第一位较小的,如果还有多组解,输出第二位较小的,等等)。

输入数据保证至少有一个解。

输入输出格式

输入格式:

 

第1行: 一个整数F(1 <= F <= 1024),表示栅栏的数目

第2到F+1行: 每行两个整数i, j(1 <= i,j <= 500)表示这条栅栏连接i与j号顶点。

 

输出格式:

 

输出应当有F+1行,每行一个整数,依次表示路径经过的顶点号。注意数据可能有多组解,但是只有上面题目要求的那一组解是认为正确的。

 

输入输出样例

输入样例#1: 
9
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5
2 5
5 6
5 7
4 6
输出样例#1: 
1
2
3
4
2
5
4
6
5
7

 

题目中要求是最小字典序 && 保证有欧拉路|欧拉回路
那么记下每个点的入度,如果存在奇点,说明是欧拉路
否则为欧拉回路
然后按照上面所说的方法找欧拉回路即可

技术分享图片
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<queue>
 6 #define ll long long
 7 #define DB double
 8 #define eps 1e-3
 9 using namespace std;
10 inline int read()
11 {
12     int x=0,w=1;char ch=getchar();
13     while(!isdigit(ch)){if(ch==-) w=-1;ch=getchar();}
14     while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-0,ch=getchar();
15     return x*w;
16 }
17 const int N=1510;
18 int m,S,b[N][N],du[N],ans[N],k;
19 void dfs(int u)
20 {
21     for(int i=1;i<=500;++i)
22      if(b[u][i]>=1)
23      {
24          b[u][i]--;b[i][u]--;
25          dfs(i);
26      }
27     ans[++k]=u;
28 }
29 int main()
30 {
31     m=read();
32     for(int i=1;i<=m;++i)
33     {
34         int x,y;x=read();y=read();
35         b[x][y]++;b[y][x]++;
36         du[x]++;du[y]++;
37     }
38     S=1;
39     for(int i=1;i<=500;++i)
40      if(du[i]&1){S=i;break;}
41     dfs(S);
42     for(int i=k;i>=1;--i)
43      printf("%d\n",ans[i]);
44     return 0;
45 }
View Code

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以上是关于欧拉路&欧拉回路的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

图的路径:欧拉路(欧拉回路)

欧拉路和欧拉回路

欧拉路,欧拉回路小结(转)

欧拉回路与欧拉路 之 一笔画问题

欧拉回路

欧拉路