主席树乱讲

Posted 2020-10-25 Cyhlnj

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了主席树乱讲相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

主席树乱讲

前置技能

线段树：动态开点，标记永久化，基本操作
离散化

介绍

主席树即可持久化线段树，也叫作函数式线段树
~~至于为什么叫做主席树，据说是一个叫HJT的神犇在考场上现场yy出来的~~
可持久化线段树：
顾名思义就是线段树经过了若干次修改之后，仍然能找到原来某次修改前的线段树的信息的一种数据结构

建立

最暴力的方法就是，每次修改就复制当前的线段树新建下一版本的一棵树，在上面修改
空间复杂度\\(O(mnlogn)\\)，时间复杂度\\(O(mnlogn)\\)
这样并不高效，还不如不用

进行优化

考虑单点修改
线段树单点修改只会修改一条链，即\\(log\\)个点，其它的点不变
那么我们为什么不可以把其它不变的点继续利用？
所以我们就可以只新建这条链的点其它的点直接接上去就行了
那么空间复杂度就是\\(O(nlogn)\\)，时间复杂度\\(O(nlogn)\\)
考虑区间修改
如果像单点修改那样，新建改变的节点
那么区间标记不好进行\\(pushdown\\)
标记永久化，这个常数小，空间小，又快又方便
这个好，加上标记永久化就解决了

记得要用动态开点线段树

单点修改模板题Luogu3919
区间修改模板题SPOJ/Vjudge

用法

不要尝试用整体二分等离线算法水过去~~强制在线~~

1. 区间第\\(k\\)小(大)问题

Luogu静态区间第k小模板题
给定\\(N\\)个正整数构成的序列，\\(M\\)组询问，对于指定的闭区间查询其区间内的第\\(K\\)小值

\\(N,M<=2*10^5\\)

做法

区间第\\(k\\)小这一类算是比较套路了
考虑如果查全局第\\(k\\)小
可以开一棵值域线段树，维护数的个数
把数字离散化之后丢进线段树中去
然后直接在线段树上二分数字
如果\\(k\\)大于当前点左子树的点的个数，那么\\(k\\)减去这个个数，去右子树
否则去左子树

这道题的做法：
类似
把数字离散化，主席树为值域线段树，维护数的个数
从第一个数字开始不停的往主席树中加点，每加一个数字，就新建一个版本
那么第\\(i\\)棵线段树保存的就是前\\(i\\)个数字
查询区间\\([l,r]\\)第\\(k\\)小？
和全局第\\(k\\)小的做法一致，但是我们要找的只是数组\\([l,r]\\)中的数
之前说过第\\(i\\)棵线段树保存的就是前\\(i\\)个数字
那么运用前缀和的方法，把第\\(r\\)棵线段树和第\\(l-1\\)棵线段树作差，得到的就是这个区间内的数，其它的都和全局第\\(k\\)小没有区别

此时树就像是一个二维平面
横纵坐标分别为树的版本和每一棵树

提一下：如果要做动态的区间第\\(k\\)小，即带修改，要用到树状数组套线段树来做，思路很相似，就是把数组区间那一维用树状数组来维护

2. 树上路径第\\(k\\)小(大)

Bzoj2588Count on a tree
一棵\\(N\\)个节点的树，每个点有一个权值，对于\\(M\\)个询问\\((u,v,k)\\)，你需要回答\\(u\\)和\\(v\\)这两个节点间第\\(K\\)小的点权

\\(N,M<=100000\\)

做法
主席树还是为值域线段树，维护数的个数
每个点的线段树版本由它的父亲加入它的点权得到
那么每个点的线段树存的就是它到根的所有点的点权
还是树上二分数字，还是线段树作差：
假设\\(u, v\\)的LCA为\\(x\\)，用\\(rt[i]\\)表示\\(i\\)这个点的线段树
那么就是这样作差
\\(rt[u]+rt[v]-rt[x]-rt[fa[x]]\\)
这样就只包含了\\(u,v\\)路径上所有的点了