关于主席树

Posted 2020-12-29 gtba

按老师说的，他第一次见到可持久化数据结构的时候，觉得它很神奇（其实只是没见过世面而已）。

主席树，这个名字是怎么来的呢？

原因，学长是这样说的：因为发明这种数据结构的大佬名字缩写和hjt主席一样，于是，便叫主席树。

下面进入正文：

主席树，又称函数式线段树、可持久化线段树。

传说是一位大神没学会划分树，于是发明了这个数据结构，作为替代品。

想要学会主席树，首先你要会线段树，前缀和思想。

既然你点开了这篇博客，那你肯定是会线段树的，不会我也没办法，下次写，至于为什么先写主席树再写线段树，，嗯，，一时兴起。

前缀和思想，这比较基础了吧，如果你不会，那你白学到这里了。

首先我们看一道题目：

给出100000个数，向你提5000问，L到R间的第K大数是多少？

我们首先想到的那肯定是暴力啊！

最为一个暴力选手这个时候就不得不说一句了，我最爱暴力了。

但是一看数据范围，肯定不行啊。

线段树？

k值是不变的，你怎么写？？

滑动窗口+单调队列？

画画这种东西，不能强求对吧，画的丑我也不愿意。

如果是上面一种情况，l-x到l最大的三个值是1.2.3，l-x到r最大的三个值是4.5.6我们可以清晰地知道l到r之间最大的三个值是4.5.6.

单如果把4改成3呢？

你还能确定3是l到r里的？

那么接下来，我们需要我们亲爱的主席树了。

要知道第k大的值就要维护k个值，然后用前缀和的思想。

but刚刚就说了要线段树，我们先看线段树。

建立n+1棵线段树，统计每个数到sz[i]时的出现次数。那么线段树R比线段树L-1多出来的数中的第K大就是答案。

那么问题来了： 数字如果太大，线段树是装不下的（因为求和啊）

解决的方法： 把所有的数排序、去重，线段树中存储的不是数本身而是数字的排序。

就是给他们一些编号，而且还快呢。

然后，空间，n+1棵线段树。一棵线段树需要开到n*4，那这不是要开到（n+1）n*4？？？？

这显然是不客观的。

那么！我们主席树的神奇之处就体现出来了！

我们可以用公用节点。

建立的过程：

1、数组排序、去重

sz: 2 4 6 8 8 6 4 2

hash:2 4 6 8

用hash的值对sz内的值进行更改变为

sz: 1 2 3 4 4 3 2 1

代码：

 

for(int i=1; i<=n; ++i) {
    readint(sz[i]);
    hash[i]=sz[i];
}
sort(hash+1,hash+n+1);
int siz=unique(hash+1,hash+n+1)-hash-1;
for(int i=1; i<=n; ++i)
    sz[i]=lower_bound(hash+1,hash+siz+1,sz[i])-hash;

 

 

 

2、建立root[0]

依照排序去重后的点数建立线段树

[x,y]表示x到y的区间。

代码：

 

build(root[0],1,siz);

void build(node * &cur,int l,int r) {
    cur=(node *)malloc(sizeof(node));
    cur->cnt=0;
    cur->ch[0]=cur->ch[1]=NULL;
    cur->l=l;
    cur->r=r;
    if(l!=r) {
        int mid=(l+r)/2;
        build(cur->ch[0],l,mid);
        build(cur->ch[1],mid+1,r);
    }
}

 

3、建立root[1]~root[n]（依照数列的大小建立）

代码：

 

void update(node * pre,int ps,node * &cur,int l,int r) {
    cur=(node *)malloc(sizeof(node));
    cur->cnt=pre->cnt+1;
    cur->l=pre->l;
    cur->r=pre->r;
    cur->ch[0]=pre->ch[0];
    cur->ch[1]=pre->ch[1];
    if(l==r)return ;
    int mid=(l+r)/2;
    if(ps<=mid)update(pre->ch[0],ps,cur->ch[0],l,mid);
    else update(pre->ch[1],ps,cur->ch[1],mid+1,r);
}
for(int i=1; i<=n; ++i) update(root[i-1],sz[i],root[i],1,siz);

 

 

 

4、查询

以l,r,k分别为3、8、3为例

root[8]的左孩子-root[2]左孩子为2，说明第3大在右孩子中，查询右孩子的k-2=1；

root[8]的右孩子的左孩子比root[2]的右孩子的左孩子大2，所以在root的右孩子的左孩子中，而此时已经到叶子，返回当前叶子的序号3。

所以3到8的第3大孩子为hash[3]=6。

代码：

 

int query(node * lt,node *rt,int l,int r,int k) {
    if(l==r)return l;
    int mid=(l+r)/2,cha=rt->ch[0]->cnt - lt->ch[0]->cnt;
    if(k<=cha)return query(lt->ch[0],rt->ch[0],l,mid,k);
    else return query(lt->ch[1],rt->ch[1],mid+1,r,k-cha);
}

 

 

 

5、节省空间的实际建图

提醒一下：

空间为n*4+n*logn 不过要用数组模拟指针，不然你一遍遍用指针开空间，会MLE。

以下为数组模拟代码：

嘻嘻可甜可盐

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 100001
using namespace std;
int n,m,root[MAXN],cut,a[MAXN],s[MAXN],t,x,y,z;
struct data {
    int lc,rc,ans;
} tree[MAXN*20];
void add(int &now,int last,int l,int r,int x) {
    now=++cut;
    tree[now].ans=tree[last].ans+1;
    tree[now].lc=tree[last].lc,tree[now].rc=tree[last].rc;
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid) add(tree[now].lc,tree[last].lc,l,mid,x);
    else add(tree[now].rc,tree[last].rc,mid+1,r,x);
    return ;
}
int query(int L,int R,int l,int r,int x) {
    if(l==r) return l;
    int p=tree[tree[R].lc].ans-tree[tree[L].lc].ans;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(p>=x) return query(tree[L].lc,tree[R].lc,l,mid,x);
    else return query(tree[L].rc,tree[R].rc,mid+1,r,x-p);
}
int main() {
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
        cin>>n>>m;
        cut=0;
        memset(root,0,sizeof root);
        for(int i=1; i<=n; i++) cin>>s[i]>>s[i];
        sort(s+1,s+n+1);
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            int p=lower_bound(s+1,s+n+1,a[i])-s;
            add(root[i],root[i-1],1,n,p);
        }
        while(m--) {
            cin>>x>>y>>z;
            int p=query(root[x-1],root[y],1,n,z);
            printf("%d
",s[p]);
        }
    }
    return 0;
}

 

一世安宁