Description
Solution
比较难想....
我们先考虑去掉无序的这个条件,改为有序,最后除 \(m!\) 即可
设 \(f[i]\) 表示前\(i\)个合法集合的方案数
明确一点:
如果前\(i-1\)个集合已经确定,并且前\(i\)个是合法的,那么第\(i\)就是确定的,所以是一一对应的关系,如果不考虑重复和空集的情况,那么总方案数就是 \(A_{2^{n}-1}^{i-1}\)
考虑去掉不合法的:
1.当前集合为空集,方案数为 \(f[i-1]\)
2.有两个集合相同,那么去掉这两个集合的方案数是 \(f[i-2]\),由于重复的那个位置可以取 \(i-1\) 个位置,且只与这个集合重复,而不与其他集合重复,所以两个集合可以取 \(2^{n}-1-(i-2)\) 种
然后直接递推即可,\(log\)求逆的话,复杂度就是 \(O(n*logn)\) 的
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5,mod=1e8+7;
int qm(int x,int k){
int sum=1;
while(k){
if(k&1)sum=1ll*sum*x%mod;
x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
}
return sum;
}
int f[N],Fac[N];
int main(){
freopen("pp.in","r",stdin);
freopen("pp.out","w",stdout);
int n,m,x,t,jc=1;
cin>>n>>m;
t=qm(2,n);Fac[1]=x=(t-1+mod)%mod;
Fac[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
jc=1ll*i*jc%mod,Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*x%mod,x=(x-1+mod)%mod;
f[0]=1;f[1]=0;
for(int i=2;i<=m;i++){
f[i]=Fac[i-1];
f[i]=(f[i]-f[i-1]-1ll*f[i-2]*(i-1)%mod*(t-1-(i-2)))%mod;
}
if(f[m]<0)f[m]+=mod;
f[m]=1ll*f[m]*qm(jc,mod-2)%mod;
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}