[BZOJ3143][HNOI2013]游走

Posted 2020-10-23 租酥雨

BZOJ
Luogu
PKUWC的Day2T3就叫随机游走
然后那道题我爆零了
皮这一下我很开心

sol

初步思路：求出每一条边期望会被走过多少次，然后排个序从大到小附上\(1...m\)的的权值。这样就能保证最小了。
然而一条边期望会被经过多少次？直接以这个作为高斯消元的自变量，方程不好列（因为边->边的转移不方便处理）
或者转化思路转而求一个点期望会出发多少次？（就是有多少次会以这个为起点出发去游走）
令\(f_i\)表示点\(i\)期望会出发多少次，我们发现，一条边\((u,v)\)期望会被经过的次数为
\[\frac{f_u}{du_u}+\frac{f_v}{du_v}\]
（就是从\(u\)或者是\(v\)都有\(\frac{1}{du_u}\)或是\(\frac{1}{du_v}\)的可能进到这条边）
所以现在就要求\(f_i\)
\[f_u=\sum_{v,(u,v)\in E}\frac{f_v}{du_v}\]
特殊的，\(f_n=0\)，然后\(f_1\)对应的那个式子最后面还有再加1
高斯消元即可。
复杂度\(O(n^3)\)跑得过的

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 505;
int gi()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
struct edge{int to,next;}a[N*N<<1];
int n,m,U[N*N],V[N*N],head[N],cnt;
double f[N][N],du[N],sol[N],val[N*N],ans;
int main()
{
    n=gi();m=gi();
    for (int i=1,u,v;i<=m;i++)
    {
        u=U[i]=gi();v=V[i]=gi();
        a[++cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt;
        a[++cnt]=(edge){u,head[v]};head[v]=cnt;
        du[u]+=1.0;du[v]+=1.0;
    }
    for (int u=1;u<n;u++)
    {
        f[u][u]=1;
        for (int e=head[u];e;e=a[e].next)
            if (a[e].to^n) f[u][a[e].to]-=1.0/du[a[e].to];
    }
    f[1][n+1]=1;//本来就要等于1
    f[n][n]=1;//f_n=0
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            for (int k=n+1;k>=i;k--)
                f[j][k]-=f[i][k]*f[j][i]/f[i][i];
    for (int i=n;i;i--)
    {
        sol[i]=f[i][n+1];
        for (int j=n;j>i;j--)
            sol[i]-=f[i][j]*sol[j];
        sol[i]/=f[i][i];
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
        val[i]=sol[U[i]]/du[U[i]]+sol[V[i]]/du[V[i]];
    sort(val+1,val+m+1);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        ans+=val[i]*(double)(m-i+1);
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}