bzoj 1951: [Sdoi2010]古代猪文 中国剩余定理+欧拉定理+组合数学+卢卡斯定理

Posted 2020-10-22 lokiii

首先化简，题目要求的是
\[ G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}}\%p \]
对于乘方形式快速幂就行了，因为p是质数，所以可以用欧拉定理
\[ G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}\%\varphi(p)} \]
\[ G^{\sum_{i|n}C_{n}^{i}\%p-1} \]
因为p-1不是质数，所以把它质因数分解为2,3,4679,35617，最后用中国剩余定理合并即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int p=999911659,N=50005;
int g,n,m[5],fac[5][N],t[5]={2,3,4679,35617};
int read()
{
    int r=0,f=1;
    char p=getchar();
    while(p>‘9‘||p<‘0‘)
    {
        if(p==‘-‘)
            f=-1;
        p=getchar();
    }
    while(p>=‘0‘&&p<=‘9‘)
    {
        r=r*10+p-48;
        p=getchar();
    }
    return r*f;
}
int ksm(long long a,int b,int p)
{
    long long r=1ll;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=r*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
int C(int n,int m,int x)
{
    if(n<m)
        return 0;
    return fac[x][n]*ksm(fac[x][n-m]*fac[x][m],t[x]-2,t[x])%t[x];
}
int lucas(int n,int m,int x)
{
    return !m?1:C(n%t[x],m%t[x],x)*lucas(n/t[x],m/t[x],x)%t[x];
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
int wk()
{
    int a,b,x,y;
    a=t[0],b=m[0];
    for(int i=1;i<4;i++)
    {
        exgcd(a,t[i],x,y);
        x=(((m[i]-b)*x)%t[i]+t[i])%t[i];
        b=b+a*x;
        a=a*t[i];
    }
    return b;
}
int main()
{
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        fac[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=t[i];j++)
            fac[i][j]=fac[i][j-1]*j%t[i];
    }
    n=read(),g=read();
    if(g==p)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    g%=p;
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            int now=n/i;
            for(int j=0;j<4;j++)
            {
                if(now!=i)
                    m[j]=(m[j]+lucas(n,i,j))%t[j];
                m[j]=(m[j]+lucas(n,now,j))%t[j];
            }
        }
    printf("%d\n",ksm(g,wk(),p));
    return 0;
}