BZOJ1951[Sdoi2010]古代猪文 Lucas定理+CRT

Posted 2020-10-10 CQzhangyu

【BZOJ1951】[Sdoi2010]古代猪文

Description

求$X=\sum\limits_{d|n}C_n^d$，$Ans=G^X (\mod 999911659)$。

Input

有且仅有一行：两个数N、G，用一个空格分开。

Output

有且仅有一行：一个数，表示答案除以999911659的余数。

Sample Input

4 2

Sample Output

2048

HINT

10%的数据中，1 <= N <= 50；
20%的数据中，1 <= N <= 1000；
40%的数据中，1 <= N <= 100000；
100%的数据中，1 <= G <= 1000000000，1 <= N <= 1000000000。

题解：由于n很小，可以暴力枚举约数并用Lucas定理计算$C_n^d$的值。但是最后求的是$G^X%P$，所以X要对P-1取模，然而P-1不是质数，所以先分解质因数然后用CRT合并即可。

注意：G=P时费马小定理不成立。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,G,P,ans;
ll v[100000],jc[100000],jcc[100000],ine[100000],A[10];
ll lucas(ll a,ll b)
{
	if(a<b)	return 0;
	if(!b)	return 1;
	if(a<P)	return jc[a]*jcc[a-b]%P*jcc[b]%P;
	return lucas(a%P,b%P)*lucas(a/P,b/P)%P;
}
ll calc()
{
	ll ret=0;
	jc[0]=jcc[0]=ine[0]=jc[1]=jcc[1]=ine[1]=1;
	int i;
	for(i=2;i<P;i++)	jc[i]=jc[i-1]*i%P,ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P,jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%P;
	for(i=1;i<=m;i++)	ret=(ret+lucas(n,v[i]))%P;
	return ret;
}
inline ll pm(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%mod;
		x=x*x%mod,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll work(ll a,ll b,ll c)
{
	return (c*pm(a,b-2,b)%b+b)%b;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&G);
	if(G==999911659)
	{
		printf("0");
		return 0;
	}
	ll i;
	for(i=1;i*i<n;i++)	if(n%i==0)	v[++m]=i,v[++m]=n/i;
	if(i*i==n)	v[++m]=i;
	P=2,A[1]=calc();
	P=3,A[2]=calc();
	P=4679,A[3]=calc();
	P=35617,A[4]=calc();
	P=999911658;
	ans=(ans+P/2*work(P/2,2,A[1]))%P;
	ans=(ans+P/3*work(P/3,3,A[2]))%P;
	ans=(ans+P/4679*work(P/4679,4679,A[3]))%P;
	ans=(ans+P/35617*work(P/35617,35617,A[4]))%P;
	printf("%lld",pm(G,(ans+P)%P,P+1));
	return 0;
}