复数相位近似估计

Posted 2020-10-22 桂。

作者：桂。

时间：2018-01-27  19:58:10

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/8367519.html 

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前言

主要记录几种复数相位计算的方法，暂未做进一步的比较分析。

一、逼近简述

　　复数相位估计的问题可表述为：

已知z = x+iy，arctan(y/x) = ？

　　复数相位估计，指标主要有三个：1）运算量；2）处理时间；3）估值精度。

　　相位估计算法大致可分为三类：

• 级数展开：如taylor展开
• 迭代求解：如CORDIC
• 有理函数逼近：如pade逼近

　　常用的CORDIC算法特点是消耗资源少，但当精度要求较高时需要多个迭代周期，典型的以时间换空间，消耗的内存少。taylor级数展开：

或者euler展开：

但利用级数无穷项展开，需要的乘法器资源巨大，即使舍去高阶项也需要较多阶数，工程应用不理想，且展开式可能仅局部收敛。取而代之的思路是：做一个LUT，将计算得到的x/y做插值处理，以相位误差小于1e-4rad为例，需要内存（数据取18bit）约为：31415*18/8/1024 = 69kb。更常用的一个思路是，利用arctan的基本性质：

从而将x的求解缩小至abs(x)<=1的范围，这样做LUT需要的内存则更少。

　　对于多项式逼近（注意：逼近分最佳一致逼近、最佳有理逼近，不在展开）的思想，多项式逼近的知识属于：数值分析的范畴，可系统学习该学科知识来掌握，推荐较多的教材为：

利用pade近似，可得到arctan的逼近公式：

该逼近的效果：whose maximum error is on the order of 0.003 degrees when | θ | ≤ π /4 radians ，当然也可以更低/高阶次。

syms x
func = (x + 0.372003*x^3)/(1+0.703384*x^2+0.043562*x^4);
taylor(func,\'order\',5)
taylor(atan(x),\'order\',5)

　　

关于常用公式的工程快速计算，可参考剑桥出版社的：

 

 二、几种常用算法

　　A-文献： Another Contender in the Arctangent Race

 主要思想仍然是pade逼近：

进一步化简：

其中I、Q是复数的实、虚部，对于4个象限，利用arctan的特性均分8个区域：

 

不同区域的求解思路：

 该算法仅需要3个实数乘法和一次除法即可完成求解，缺点是估计误差较大：

　　B-文献：Efficient Approximations for the Arctangent Function

本文仍然是多项式逼近的思想，借助朗格朗日插值、minmax优化（感觉它这里的优化就是在暴力搜索），得到逼近函数。一阶近似：

最大误差为0.22°。考虑提高精度，可增加逼近的阶次，三次为例： 

三阶需要1次除法、3次乘法。该结果相比A文献的方法，误差更小。A文献对应（10），B文献对应（9）：

　　C-文献：Fast Computation of arctangent Functions for Embedded Applications: A Comparative Analysis

 四个象限的计算：

首先造1个表，文中给出的size = 100，主要算法框图：

LUT基础上，借助线性插值，完成相位估计：

该算法需要1次除法、1次乘法，考虑到时序，若不对I、Q的大小做判断，可同时计算Q/I 、I/Q除法器为2个，上面的其他算法也是如此。

　　D-文献：Fast- and Low-Complexity atan2(a,b) Approximation

 令c = b + ja，从正弦函数切入：

通过定位极值点即可估计theta：

 

前提是T已知，作者假设均匀采样的采样周期T = 4（即每个周期内采样4个点，b a -b -a）:

利用梯度为零，定位极值点，经过推导，作者得出（fr为极值点位置的近似）：

p(1)、p(0)对应函数的离散采样：

不同象限的对应关系：

atan的近似公式为：

其中，offset = 2*not(b0)+not(xor(b1,b0))，用该方法估计相位，最大角度误差为±4.07°，因此作者在这一步的基础上，添加查表修正（second-stage），整个的算法框图为：

测试code：

表格尺寸与估值精度：

该算法提供了相位粗估计 + 精估计的实现思路，除了第一步的粗估计，作者给出了理论解释，个人觉得该算法工程实现意义不大。b/a or a/b之后直接查表，在精度0.001°的情况下，直接查表的LUT也就4kb左右（视有效位数而定）。