浅谈后缀自动机SAM

Posted 2020-10-21 Mychael

一下是蒟蒻的个人想法，并不很严谨，仅供参考，如有缺误，敬请提出

参考资料：
陈立杰原版课件
litble
某大神
某大神
其实课件讲得最详实了

有限状态自动机##

我们要学后缀自动机，我们先来了解一下自动机到底是什么。【虽说以前也学过AC自动机，只是当一个名字罢了】

有限自动机的功能是识别字符串，作用各不相同
如果自动机A能识别串s，那么A(s) = true
自动机有一个初始状态，从初始状态出发能到达多个状态。到达终止状态表示字符串识别

后缀自动机SAM##

我们略去建机原理的分析和建机过程，具体原理建议看陈立杰神牛的课件，建机过程为了简化可以看litble的
其实是我弱写不出来QAQ

一些性质：
①后缀自动机能识别对应串的所有后缀，且状态数最少【最简状态】
②从初始状态出发，每一种走法唯一对应一种子串
【也就是说一个节点往后有几种走法，往后就有几种子串】
③一个状态代表一个子串集合，该集合中的子串有着相同的右端点，且长度连续
④一个状态的pre指针指向的状态与该状态也有着相同的右端点，且长度最大值 = 该状态最小长度 - 1

由此可见pre是当前串的后缀

⑤一个状态表示子串的最大长度Max(u) = step[u]，最小长度Min(u) = step[pre[u]] + 1【由④得】
⑥如果不同位置的相同子串需重复计算，则一个点表示子串的数量 = 其parent树中的叶子个数
⑦只有叶子节点表示的子串是不重复的
⑧后缀自动机是拓扑图，pre指针形成一棵树
⑨插入时第一个建的点都是主链上的点
⑩求点的拓扑序可以用step进行基数排序

一些作用：【大多与子串相关】
①求第K小子串
②求LCP【最长公共子串】
③求子串出现次数，最大次数等
④求某个位置为结尾最大匹配长度
⑤求不同子串数
还有很多。。。。。
蒟蒻见过的差不多这些

贴个模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define Redge(u) for (int k = h[u]; k; k = ed[k].nxt)
using namespace std;
const int maxn = 2000005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int RD(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == \'-\') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 1) + (out << 3) + c - \'0\'; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int ch[maxn][26],pre[maxn],step[maxn],n,cnt,last;
int b[maxn],sz[maxn],a[maxn];
LL ans = 0;
char s[maxn];
void ins(int u){
	int p = last,np = ++cnt;
	last = np; step[np] = step[p] + 1;
	while (p && !ch[p][u]) ch[p][u] = np,p = pre[p];
	if (!p) pre[np] = 1;
	else {
		int q = ch[p][u];
		if (step[q] == step[p] + 1) pre[np] = q;
		else {
			int nq = ++cnt; step[nq] = step[p] + 1;
			for (int i = 0; i < 26; i++) ch[nq][i] = ch[q][i];
			pre[nq] = pre[q]; pre[q] = pre[np] = nq;
			while (ch[p][u] == q) ch[p][u] = nq,p = pre[p];
		}
	}
	sz[np] = 1;
}
void solve(){
	REP(i,cnt) b[step[i]]++;
	REP(i,cnt) b[i] += b[i - 1];
	REP(i,cnt) a[b[step[i]]--] = i;
	for (int i = cnt; i; i--){
		sz[pre[a[i]]] += sz[a[i]];
		if (sz[a[i]] > 1) ans = max(ans,1ll * step[a[i]] * sz[a[i]]);
	}
}
int main(){
	scanf("%s",s + 1);
	cnt = last = 1; n = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= n; i++) ins(s[i] - \'a\');
	solve();
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}