模板后缀自动机 (SAM)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了模板后缀自动机 (SAM)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
感谢(ivorysi)学姐_(:з」∠)_给我讲了一上午才明白
后缀自动机 ({
m (Suffix Automaton,SAM)})是一个用来匹配单模板串的所有子串的算法。
({
m SAM})的空间复杂度、构造的时间复杂度都是(O(n))的。
后缀自动机是一个({
m DAG})。
顾名思义,后缀自动机上,根到每个节点的路径都代表一个原串的后缀。
对于字符串( exttt{aabb}),它的后缀自动机为:
性质
- 后缀只有(n)个;
- 设(endpos)表示一个子串结束的位置。对于两个子串(u,v(|u|>|v|)),若(endpos_u = endpos_v),则有(usupseteq v),即(v)是(u)的子串;
- 每次最多新建(2)个节点,即空间上限为(2n);
- 字符集大小一般为(26),因为后缀自动机是({ m DAG}),所以时间复杂度是(kn)((k)是常数)。
(parent)树
设根节点为(1),加入到第(R)位,存在((1,i])是((1,R])的后缀且长度最大,即((1,i] = (L,R])且(i)最大,则(fa[R]=i)。
(|L,R|)可以为(0),即(fa[R] = 1)。
有点类似于AC自动机的失配函数。
- 正串的(parent)树$是反串的后缀树。
好像忘了怎么证明了
初始化
每个节点需要储存的信息有:
(ch[26]):子节点
(fa):父节点
(len):从根节点到该节点的(代表的字符串的)长度
(cnt):(0/1),若该节点在后缀链上,则为(1)
构造
需要储存的信息有:
(root):根节点
(last):上一个加入的节点(每次(+1))
(siz):后缀自动机的节点个数
流程:
设当前插入的字符为(x).
- 向后缀链的末尾插入一个新节点(now);
- 检查(now)在后缀链上的上一个节点(p = last),是否存在字符为(x)的子节点(q = p.ch[x]);
若不存在,则连边(p.ch[x] = now),继续向上找父亲(p = p.fa); - 退出循环时,若(p=0),说明没有匹配到的后缀,(now.fa = root),结束。
- 若(p
ot = 0),则检查(p->q)是否为后缀链上的边;
- 若(q.len = p.len+1),说明匹配到了一个存在的后缀,(now.fa = q),结束。
- 否则,说明这样的后缀不存在于已经加入的后缀链中,需要新建一个节点(q_{new})来表示。
(q_{new})复制(q)的父节点和子节点信息,(q_{new}.len = p.len+1);
(q_{new})不是后缀链上原有的点,所以(q_{new}.cnt = 0); - 新建的((1,q_{new}])是((1,now])和((1,q])的后缀,所以(q_{new})为(now)和(q)的父节点,
(now.fa = q.fa = q_{new}) - 将指向(q)的点改为指向(q_{new}),即(p.ch[x]=q_{new}),并不断向上找父亲(p = p.fa)。
依旧以串( exttt{aabb})为例。
- 首先,加入根节点,(root=last=siz=1).
- 加入第一位( exttt{a}).
- 新建节点(now).
- (p=last=1; p)不存在(ch[a]),连边(p.ch[a]=now;)
- (p=p.fa=0),则(now.fa=root),退出。
- 加入第二位( exttt{a}).
- 新建节点(now).
- (p=last=2; p)不存在(ch[a]),连边(p.ch[a]=now;)
- (p=p.fa=1; q=p.ch[a]=2)
(q.len=2,p.len=1, ecause q.len = p.len+1)
( herefore now.fa=q),退出。
- 加入第三位( exttt{b}).
- 新建节点(now).
- (p=last=3; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now;)
- (p=p.fa=1; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now;)
- (p=p.fa=0),则(now.fa=root),退出。
- 加入第四位( exttt{b}).
- 新建节点(now).
- (p=last=4; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now)
- (p=p.fa=1;\\q=p.ch[b]=4;)
- (q.len=4,p.len=1, ecause q.len
ot = p.len+1)
( herefore) 新建节点(q_{new}).
- 将(q)的父子信息复制给(q_{new}),(q_{new}.len = p.len+1),(q_{new}.cnt = 0).
- 将(now)和(q)的父亲改为(q_{new}).
- 将指向(q)的节点改为指向(q_{new})。
画图好累...
注意:
我的理解:以上述例子为例,当加入第四位,即第二个( exttt{b})时,后缀( exttt{b})的出现次数不再与( exttt{a})等同,所以需要新开一个节点计算。
节点用结构体封装,复制(q_{new}=q)时把信息全部复制过去了,不要忘记把(cnt)改为(0)。
(code)
struct SuffixAutomaton {
struct node {
int ch[26],fa,len,cnt;
void clean() {
memset(ch,0,sizeof(ch));
fa = len = cnt = 0;
}
} S[maxn<<1];
int root,last,siz;
void init() {
for(int i = 1; i <= siz; i++)
S[i].clean();
root = last = siz = 1;
}
void insert(int c) {
int p = last, now = ++siz;
S[now].cnt = 1;
S[now].len = S[p].len+1;
for(; p && !S[p].ch[c]; p = S[p].fa)
S[p].ch[c] = now;
if(!p) S[now].fa = root;
else {
int q = S[p].ch[c];
if(S[q].len == S[p].len+1)
S[now].fa = q;
else {
int q_new = ++siz;
S[q_new] = S[q];
S[q_new].cnt = 0;
S[q_new].len = S[p].len+1;
S[now].fa = S[q].fa = q_new;
for(; p && S[p].ch[c] == q; p = S[p].fa)
S[p].ch[c] = q_new;
}
}
last = now;
}
} SAM;
应用
模板题:Luogu P3804
求出(S)的所有出现次数(>1)的子串的(出现次数( imes)长度)(_{max})。
由下到上更新(parent)树,最后计算每个节点的贡献即可。
为了保证由下到上更新,将节点按拓扑序排序。根据性质,一定有(i.len<fa[i].len)
因此,用桶排序将节点按(len)从大到小排序,得到的即为拓扑序。
将后缀链上的点的(cnt)设为(1),其余点设为(0)。
(i.cnt = i.cnt + sum j.cnt(fa[j]=i))
完整代码如下
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
char s[maxn];
int b[maxn<<1],que[maxn<<1];
long long ans;
struct SuffixAutomaton {
struct node {
int ch[26],fa,len,cnt;
void clean() {
memset(ch,0,sizeof(ch));
fa = len = cnt = 0;
}
} S[maxn<<1];
int root,last,siz;
void init() {
for(int i = 1; i <= siz; i++)
S[i].clean();
root = last = siz = 1;
}
void insert(int c) {
int p = last, now = ++siz;
S[now].cnt = 1;
S[now].len = S[p].len+1;
for(; p && !S[p].ch[c]; p = S[p].fa)
S[p].ch[c] = now;
if(!p) S[now].fa = root;
else {
int q = S[p].ch[c];
if(S[q].len == S[p].len+1)
S[now].fa = q;
else {
int q_new = ++siz;
S[q_new] = S[q];
S[q_new].cnt = 0;
S[q_new].len = S[p].len+1;
S[now].fa = S[q].fa = q_new;
for(; p && S[p].ch[c] == q; p = S[p].fa)
S[p].ch[c] = q_new;
}
}
last = now;
}
void calc() {
for(int i = 1; i <= siz; i++)
b[S[i].len]++;
for(int i = 1; i <= siz; i++)
b[i] += b[i-1];
for(int i = 1; i <= siz; i++)
que[b[S[i].len]--] = i;
for(int i = siz; i; i--)
S[S[que[i]].fa].cnt += S[que[i]].cnt;
for(int i = 1;i <= siz;i++)
if(S[i].cnt > 1) ans = max(ans,(long long)S[i].cnt*S[i].len);
printf("%lld",ans);
}
} SAM;
int main() {
scanf("%s",s+1);
int n = strlen(s+1);
SAM.init();
for(int i = 1; i <= n; i++)
SAM.insert(s[i]-‘a‘);
SAM.calc();
return 0;
}
以上是关于模板后缀自动机 (SAM)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章