模板后缀自动机 (SAM)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了模板后缀自动机 (SAM)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

感谢(ivorysi)学姐_(:з」∠)_给我讲了一上午才明白

后缀自动机 ({ m (Suffix Automaton,SAM)})是一个用来匹配单模板串的所有子串的算法。
({ m SAM})的空间复杂度、构造的时间复杂度都是(O(n))的。

后缀自动机是一个({ m DAG})
顾名思义,后缀自动机上,根到每个节点的路径都代表一个原串的后缀

对于字符串( exttt{aabb}),它的后缀自动机为:
技术图片

性质

  • 后缀只有(n)个;
  • (endpos)表示一个子串结束的位置。对于两个子串(u,v(|u|>|v|)),若(endpos_u = endpos_v),则有(usupseteq v),即(v)(u)的子串;
  • 每次最多新建(2)个节点,即空间上限为(2n)
  • 字符集大小一般为(26),因为后缀自动机是({ m DAG}),所以时间复杂度是(kn)(k)是常数)。

(parent)

设根节点为(1),加入到第(R)位,存在((1,i])((1,R])的后缀且长度最大,即((1,i] = (L,R])(i)最大,则(fa[R]=i)
(|L,R|)可以为(0),即(fa[R] = 1)
有点类似于AC自动机的失配函数。

  • 正串的(parent)树$是反串的后缀树。好像忘了怎么证明了

初始化

每个节点需要储存的信息有:
(ch[26]):子节点
(fa):父节点
(len):从根节点到该节点的(代表的字符串的)长度
(cnt)(0/1),若该节点在后缀链上,则为(1)

构造

需要储存的信息有:
(root):根节点
(last):上一个加入的节点(每次(+1)
(siz):后缀自动机的节点个数

流程:

设当前插入的字符为(x).

  • 向后缀链的末尾插入一个新节点(now)
  • 检查(now)在后缀链上的上一个节点(p = last),是否存在字符为(x)的子节点(q = p.ch[x])
    若不存在,则连边(p.ch[x] = now),继续向上找父亲(p = p.fa)
  • 退出循环时,若(p=0)说明没有匹配到的后缀,(now.fa = root),结束。
  • (p ot = 0),则检查(p->q)是否为后缀链上的边;
    • (q.len = p.len+1),说明匹配到了一个存在的后缀,(now.fa = q),结束。
    • 否则,说明这样的后缀不存在于已经加入的后缀链中,需要新建一个节点(q_{new})来表示。
      (q_{new})复制(q)父节点子节点信息,(q_{new}.len = p.len+1)
      (q_{new})不是后缀链上原有的点,所以(q_{new}.cnt = 0)
    • 新建的((1,q_{new}])((1,now])((1,q])的后缀,所以(q_{new})(now)(q)的父节点,
      (now.fa = q.fa = q_{new})
    • 将指向(q)的点改为指向(q_{new}),即(p.ch[x]=q_{new}),并不断向上找父亲(p = p.fa)

依旧以串( exttt{aabb})为例。

  • 首先,加入根节点,(root=last=siz=1).

技术图片

  • 加入第一位( exttt{a}).
    • 新建节点(now).

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  • (p=last=1; p)不存在(ch[a]),连边(p.ch[a]=now;)

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  • (p=p.fa=0),则(now.fa=root),退出。

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  • 加入第二位( exttt{a}).
    • 新建节点(now).

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  • (p=last=2; p)不存在(ch[a]),连边(p.ch[a]=now;)

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  • (p=p.fa=1; q=p.ch[a]=2)
    (q.len=2,p.len=1, ecause q.len = p.len+1)
    ( herefore now.fa=q),退出。

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  • 加入第三位( exttt{b}).
    • 新建节点(now).

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  • (p=last=3; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now;)

技术图片

  • (p=p.fa=1; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now;)

技术图片

  • (p=p.fa=0),则(now.fa=root),退出。

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  • 加入第四位( exttt{b}).
    • 新建节点(now).

技术图片

  • (p=last=4; p)不存在(ch[b]),连边(p.ch[b]=now)

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  • (p=p.fa=1;\\q=p.ch[b]=4;)

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  • (q.len=4,p.len=1, ecause q.len ot = p.len+1)
    ( herefore) 新建节点(q_{new}).

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  • (q)的父子信息复制给(q_{new})(q_{new}.len = p.len+1)(q_{new}.cnt = 0).

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  • (now)(q)的父亲改为(q_{new}).

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  • 将指向(q)的节点改为指向(q_{new})

技术图片

画图好累...

注意:

我的理解:以上述例子为例,当加入第四位,即第二个( exttt{b})时,后缀( exttt{b})的出现次数不再与( exttt{a})等同,所以需要新开一个节点计算。
节点用结构体封装,复制(q_{new}=q)时把信息全部复制过去了,不要忘记把(cnt)改为(0)

(code)

struct SuffixAutomaton {
	struct node {
		int ch[26],fa,len,cnt;
		void clean() {
			memset(ch,0,sizeof(ch));
			fa = len = cnt = 0;
		}
	} S[maxn<<1];
	int root,last,siz;

	void init() {
		for(int i = 1; i <= siz; i++)
			S[i].clean();
		root = last = siz = 1;
	}

	void insert(int c) {
		int p = last, now = ++siz;
		S[now].cnt = 1;
		S[now].len = S[p].len+1;
		for(; p && !S[p].ch[c]; p = S[p].fa)
			S[p].ch[c] = now;
		if(!p) S[now].fa = root;
		else {
			int q = S[p].ch[c];
			if(S[q].len == S[p].len+1)
				S[now].fa = q;
			else {
				int q_new = ++siz;
				S[q_new] = S[q];
				S[q_new].cnt = 0;
				S[q_new].len = S[p].len+1;
				S[now].fa = S[q].fa = q_new;
				for(; p && S[p].ch[c] == q; p = S[p].fa)
					S[p].ch[c] = q_new;
			}
		}
		last = now;
	}
} SAM;

应用

模板题:Luogu P3804

求出(S)的所有出现次数(>1)的子串的(出现次数( imes)长度)(_{max})

由下到上更新(parent)树,最后计算每个节点的贡献即可。
为了保证由下到上更新,将节点按拓扑序排序。根据性质,一定有(i.len<fa[i].len)
因此,用桶排序将节点按(len)从大到小排序,得到的即为拓扑序。
将后缀链上的点的(cnt)设为(1),其余点设为(0)
(i.cnt = i.cnt + sum j.cnt(fa[j]=i))

完整代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;

const int maxn = 1e6+10;

char s[maxn];
int b[maxn<<1],que[maxn<<1];
long long ans;

struct SuffixAutomaton {
	struct node {
		int ch[26],fa,len,cnt;
		void clean() {
			memset(ch,0,sizeof(ch));
			fa = len = cnt = 0;
		}
	} S[maxn<<1];
	int root,last,siz;

	void init() {
		for(int i = 1; i <= siz; i++)
			S[i].clean();
		root = last = siz = 1;
	}

	void insert(int c) {
		int p = last, now = ++siz;
		S[now].cnt = 1;
		S[now].len = S[p].len+1;
		for(; p && !S[p].ch[c]; p = S[p].fa)
			S[p].ch[c] = now;
		if(!p) S[now].fa = root;
		else {
			int q = S[p].ch[c];
			if(S[q].len == S[p].len+1)
				S[now].fa = q;
			else {
				int q_new = ++siz;
				S[q_new] = S[q];
				S[q_new].cnt = 0;
				S[q_new].len = S[p].len+1;
				S[now].fa = S[q].fa = q_new;
				for(; p && S[p].ch[c] == q; p = S[p].fa)
					S[p].ch[c] = q_new;
			}
		}
		last = now;
	}

	void calc() {
		for(int i = 1; i <= siz; i++)
			b[S[i].len]++;
		for(int i = 1; i <= siz; i++)
			b[i] += b[i-1];
		for(int i = 1; i <= siz; i++)
			que[b[S[i].len]--] = i;
		for(int i = siz; i; i--)
			S[S[que[i]].fa].cnt += S[que[i]].cnt;
		for(int i = 1;i <= siz;i++)
			if(S[i].cnt > 1) ans = max(ans,(long long)S[i].cnt*S[i].len);
		printf("%lld",ans);
	}

} SAM;

int main() {
	scanf("%s",s+1);
	int n = strlen(s+1);
	SAM.init();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		SAM.insert(s[i]-‘a‘);
	SAM.calc();
	return 0;
}
























以上是关于模板后缀自动机 (SAM)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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