二进制数的编码表示

Posted 2020-10-21

数值信息在计算机内是采用二进制编码表示。数有正负之分，一般情况下，用"0"表示正号，"1"表示负号，符号位放在数的最高位。
例如，8位二进制数A = (+1011011)，B = (-1011011)，它们在机器中可以表示为：
A：01011011
B：11011011

计算机中几种常用的编码----原码、反码和补码。

1.原码
将符号位数字化为0或1，数的绝对值与符号一起编码，即所谓"符号-绝对值表示"的编码，称为原码。
例如：
整数：
X = +1011011，原码：[X]原 = 01011011；
X = -1011011，原码：[X]原= 11011011；
小数：
对于一个带符号的纯小数，它的原码表示就是把小数点左边一位用作符号位。
X = 0.1011，原码：[X]原 = 0.1011；
X = -0.1011，原码：[X]原 = 1.1011；

            当采用原码表示法时，编码简单直观，与真值转换方便。但原码也存在一些问题，一是零的表示不唯一，因为：[+0] = 000···0，[-0] = 100···0  零有二义性，
            给机器判零带来麻烦。二是用原码进行四则运算时，符号位需要单独处理，且运算规则复杂。例如加法运算，若两数同号，两数相加，结果取共同的符号；
            若两数异号，则要大数减去小数，结果冠以大号的符号。此外，借位操作如果用计算机硬件来实现是很困难的。

2.反码
反码很少使用，但作为一种编码方式和求补码的中间码，我们还是要学习一下的。
正数的反码与原码表示相同。
负数反码的符号位与原码相同(仍用1表示)，其余各位取反(0变1,1变0)。例如：
X = +1100110， [X]原 = 01100110，[X]反 = +1100110；
X = -1100110，[X]原 = 11100110，[X]反 = 10011001；
X = +0000000，[X]原 = 00000000，[X]反 = 00000000；
X = -0000000，[X]原 = 10000000，[X]反 = 111111111；
和原码一样，反码中的零的表示也不唯一。
当X为纯小数时，反码的表示如下：
X = 0.1011，[X]原 = 0.1011，[X]反 = 0.1011；
X = -0.1011，[X]原 = 1.1011，[X]反 = 1.0100；

3.补码
(1)模数的概念
模数从物理意义上讲，是某种计量器的容量。例如，我们日常生活中用到的钟表，模数就是12。钟表计时的方式就是达到12就从零开始(扔掉一个12)，这在数学上是一种"取模(或取余)运算(mod)"。例如：14%12 = 2。
如果现在的准确时间是6点整，而你的手表指向8点，怎样把表拨准呢？可以有两种方法：把表往后拨2小时，或把表往前拨10小时，效果是一样的。即：
8-2 = 6
(8+10)%12 = 6

         在模数系统中，8-2 = 8+10 (mod 12)
         上式之所以成立，是因为2与10对模数12是互为补数的(2+10 = 12)。因此，可以认可这样一个结论：在模数系统中，一个数减去另一个数，或者一个数加上一个负数，等于第一个数加上第二个数的补数：
                                                                                                                                                 8+(-2) = 8+10 (mod 12)
            我们称10为-2在模12下的"补码"。负数采用补码表示后，可以使加减法统一为加法运算。
            在计算机中，机器表示数据的字长是固定的。对于n位数来说，模数的大小是：n位数全为1，且末位再加1。实际上模数的值已经超过了机器所能表示的数的范围，因此模数在机器中是表示不出来的。若运算结果大于模数，则模数自动丢掉，也就等于实现了取模运算。
            如果有n位整数(包括一位符号位)，则它的模数为2^n；如果有n位小数，小数点前一位为符号位，则它的模数为2。

    ***(2)补码表示法***
    由以上讨论得知，对于一个二进制负数，可用其模数与真值做加法(模减去该数的绝对值)求得其补码。
    例：  X = -0110    [X]补 = 2^4 + (-0110) = 1010
             X = -0.1011  [X]补 = 2 + (-0.1011) = 1.0101
                     由于机器中不存在数的真值形式，用上述公式求补码在机器中不易实现，但从上式可推导出一个简便方法。
                     "对于一个负数，其补码由该数反码的最末位加1求得。"
                    "对于正数来说，其原码、反码、补码形式相同。”

                    补码的特点之一就是零的表示唯一。
                      [+0]补 = 0 0 ···0           [-0]补 = 1 1 ··· 1 + 1 = 1 0 0 ··· 0
                                      |_____|                        |______|          |  |______|
                                                       n位                               n位              |      n位
                                                                                               |_ _ _ _ _ _ _ 自动丢失 
                    这种简便的求补码方法经常被简称为"求反加1"。

(3)补码的运算规则
采用补码表示的另一个好处就是当数值信息参与算术运算时，采用补码方式是最方便的。首先，"符号位可作为数值参加运算，"最后仍可得到正确的结果符号，符号无需单独处理；其次，采用补码进行运算时，减法运算可转换为加法运算，简化了硬件中的运算电路。
例如：
计算67-10=？
[+67]原 = 01000011， [+67]补 = [+67]原
[-10]原 = 10001010， [-10]补 = 11110110

                  0 1 0 0 0 0 1 1        [+67]补
            +  1 1 1 1 0 1 1 0        [-10]补
            ——————————————
             1 0 0 1 1 1 0 0 1   = 57
              |____________________________ 最高位的进位自然丢失
                 由于字长只有8位，因此加法最高位的进位自然丢失，达到了取模效果(即丢掉了一个模数)。
                 应当指出，"补码运算的结果仍为补码。" 上例中，从结果符号位得知，结果为正，所以补码即原码，转换成十进制数为57。
       如果结果为负，则是负数的补码形式，若要变成原码，需要对补码再求补，即可还原为原码。
 例如：
         10 - 67 = ？
                 [+10]原 = 00001010 = [+10]补
                 [-67]原 = 11000011     [-67]补 = 10111101

                        0 0 0 0 1 0 1 0
                +  1 0 1 1 1 1 0 1
                ——————————
                      1 1 0 0 0 1 1 1

                            [结果]补 = 11000111，[结果]原 = 10111001
                            所以结果的真值为-0111001，十进制为-57。

                    以上两个例子是否就可以说明补码运算的结果总是正确的呢？请看下面的例子：
例如：
        85 + 44 = ？
                      0 1 0 1 0 1 0 1
                    +  0 0 1 0 1 1 0 0
                ———————————
                          1 0 0 0 0 0 0 1
                    从结果的符号位可以看出，结果是一负数。但两个整数相加不可能是负数，问题出在什么地方呢？原来这是由于"溢出"造成的，即结果超出了一定位数的二进制数所能表示的数的范围。

            以上内容节选自清华大学出版社《C++语言程序设计（第4版）》