【CF913G】Power Substring
题意：T组询问，每次给定一个数a，让你求一个k，满足$2^k$的10进制的后$min(100,length(k))$位包含a作为它的子串。你只需要输出一个k，不需要最小化k的值，保证有解。
$T\le 2000，a\le 10^{11}$
题解：神题。
假设a有n位，$2^k=x$，$x=a\times 10^m+b(\mod 10^{n+m})$，我们显然有$k\ge n+m$，所以$2^{n+m}\mid x$，又因为$2^{n+m}\mid 10^{n+m}$，则$2^{n+m}\mid a\times 10^m+b$（等式1）。因为$5^{n+m}\nmid x$，$5^{n+m}\mid 10^{n+m}$，所以$5^{n+m}\nmid a\times 10^m+b$（等式2）。当m确定时，b的取值范围就是一段连续的、长度为$10^m$的区间，所以当$10^m\ge 2^{n+m}$时一定有解，所以m不会太大，我们考虑枚举m。
当m确定时，我们可以根据上面那两条等式快速求出b的值，但如何根据b的值反推得到x的值呢？我们发现等式1的左右两端都能被$2^{n+m}$整除，所以将其除以$2^{n+m}$，得到$y=w (\mod 5^{n+m}),w=\frac {a\times 10^m+b} {2^{n+m}}$。容易证明如下引理：
引理：对于任意$m\le 1$，2是$5^m$的原根。
证明：首先通过枚举可知2是5的原根，$2^i=2,4,3,1,2,....$，循环节为4。
熟悉原根的都知道，a是p的原根当且仅当：将$\varphi(p)$分解质因数变成$\prod p_i^{e_i}$后，对于任意的i，$a^{\frac {\varphi(p)} {p_i}}\neq 1 (\mod p)$。那么当$m\ge 2$时，$\varphi(5^m)$分解质因数形式为$2^2\times 5^{m-1}$，有$2^{4\times 5^{m-2}}=(2^{5^{m-2}})^4=2^4(\mod p^2)$，且$2^{2\times 5^{m-1}}=2^2(\mod p^2)$，二者在$\mod p^a$意义下显然不为1。所以2是$p^m$的原根。
现在我们只需要求出$w$的指标就好了，这里求指标的方法采用了归纳的思想：
1.我们先暴力求出$w$在$\mod 5$意义下的指标$d_1$。
2.我们希望从w在$\mod 5^m$意义下的指标$d_m$推导出w在$\mod 5^{m+1}$意义下的指标$d_{m+1}$，发现对于$j\in\{0,1,2,3,4\}$，存在唯一的j使得$2^{d_m+j}=1(\mod 5^{m+1})$。所以我们暴力枚举j即可。
注意最后这一步采用快速幂会爆long long，所以还要用快速乘。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int T,n,m; ll x,y,a,b; inline ll ps(ll x,ll y,ll P) { ll z=0; while(y) { if(y&1) z=z+x; x<<=1,y>>=1; if(x>=P) x-=P; if(z>=P) z-=P; } return z; } inline ll pm(ll x,ll y,ll P) { ll z=1; x%=P; while(y) { if(y&1) z=ps(z,x,P); x=ps(x,x,P),y>>=1; } return z; } int main() { scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%lld",&a); ll t=a,m1=1; n=0; while(t) t/=10,n++; for(m=0;;m++,a*=10,m1*=10) { b=(-a)&((1<<(n+m))-1); if((a+b)%5==0) b+=1<<(n+m); if(b>=m1) continue; x=a+b,y=x>>(n+m); int i,j; ll now=0,phi,pw; for(i=0;i<4;i++) if(pm(2,i,5)==y%5) now=i; phi=4,pw=5; for(i=2;i<=n+m;i++) { pw*=5; for(j=0;j<5;j++) if(pm(2,now+j*phi,pw)==y%pw) { now+=j*phi; break; } phi*=5; } printf("%lld\n",now+n+m); break; } } return 0; }//1 5