数论+线性dp——cf1174A

Posted 2021-12-28 zsben991126

直接推公式没有推出来

看了题解才会做。。

首先能够确定前面几个数的gcd一定是2^j * 3^k, 其中k<=1

那么可以用dp[i][j][k]来表示到第i位的gcd是2^j*3^k

f(j,k) 为 n / 2^j / 3^k

那么状态转移有

dp[i+1][j][k]=dp[i][j][k]*( f(j,k)-i );　　　　//继承前一状态

dp[i+1][j-1][k]=dp[i][j][k]*( f(j-1,k)-f(j,k) );

dp[i+1][j][k-1]=dp[i][j][k]*( f(j,k-1)-f(j,k) );

#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int n,dp[1000005][21][2];
int f(int x,int y)

    int tmp=(1<<x);
    if (y)
        tmp*=3;
    return n/tmp;

int main()

    scanf("%d",&n);
    int p=0;
    while ((1<<p)<=n)
        p++;
    p--;
    dp[1][p][0]=1;
    if ((1<<(p-1))*3<=n)
        dp[1][p-1][1]=1;
        
    for (int i=1;i<n;i++)
    
        for (int x=0;x<=p;x++)
        
            for (int y=0;y<=1;y++)
            
                dp[i+1][x][y]=(dp[i+1][x][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y)-i))%mod;
                if (x)
                    dp[i+1][x-1][y]=(dp[i+1][x-1][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x-1,y)-f(x,y)))%mod;
                if (y)
                    dp[i+1][x][y-1]=(dp[i+1][x][y-1]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y-1)-f(x,y)))%mod;
            
        
    
    printf("%d",dp[n][0][0]);