平摊分析 Amortized Analysis ------geeksforgeeks翻译

Posted 2020-07-05

当偶尔一切操作很花的时间很慢，而大多数操作的时间都很快的时候，平摊分析的方法就很很好用了。在平摊分析中，我们分析一串操作并且可以得到最坏情况下的平均时间复杂度。例如hash table, disjoint set 和splay tree都是用平摊分析算法的。

举一个简单的hash table的插入算法，我们怎么来定义hash table的大小呢？这是一个时间和空间的权衡(trade-off)。如果让hash table空间大的话，那搜索的时间会变慢，如果空间小，不一定能存的下数据。

解决这种权衡的方法是利用动态表or数组(dynamic table)。主要思想是当表已经满的时候增加哈希表的大小，步骤是：

1.给哈希表增加内存，一般是原来大小的两倍。

2.把原来的表的数据复制到新表中。

3.释放旧表的内存。

（有点类似java中 string 拼接的感觉）

这种哈希表的插入算法的时间复杂度是多少呢？

如果我们简单的分析，插入一个元素的最坏复杂度是O(n)，(解释一下，因为这时哈希表可能满，需要复制n个元素到新的大表中，所以最坏的情况是O(n) ) 所以插入n个数的时间复杂度是n*O(n) = O(n²)。 这种分给除了上界限，但不是一个最紧的上界限，因为n个元素插入，不一定没一个都需要O(n)的时间。

 

所以用平摊分析发，我们可以证明用动态表的话，插入一个元素的时间复杂度是O(1)。动态大小的这种方法也用于C++ 的vector 和 Java的ArrayList。

 

 

下面是一些重要的信息：

1.平摊分析可以看做一个人是如何消费的，一个人平均每个月的花销是小于或者等于他的月薪。但是它可以在这个月花更多的钱，而在其他的月份存一些钱。

2.用动态数组的平摊分析有个名字叫做aggregate method (总体成本法)，有两个厉害的方法去平摊分析：accounting method , potential method 

3.平摊分析法和概率没啥关系，还有一些别的概念去分析一些用随机算法来减少算法的时间复杂度。这种方法叫做随机算法  Randomized Analysis。例如 随机化的快速排序(quick sort)，快速选择(quick select，或者散列函数(hashing)。我们会在之后会的文章中提到这些内容