Fast amortized Kate proofs
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Fast amortized Kate proofs相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1. 引言
具体见以太坊基金会Feist和khovratovich整理的Fast amortized Kate proofs 文档。
1.1 Setup
令
g
g
g 为 a group
G
\\mathbbG
G element。
[
a
]
=
a
⋅
g
[a] = a\\cdot g
[a]=a⋅g 为a group element，其中
a
a
a 为integer。
令
s
s
s 为某秘密值，则 a universal setup of degree
m
m
m 包含了
m
m
m 个
G
\\mathbbG
G elements:
[
s
]
,
[
s
2
]
,
…
,
[
s
m
]
.
[s], [s^2], \\ldots, [s^m].
[s],[s2],…,[sm].
1.2 Commitment
令
f
(
X
)
=
∑
0
≤
i
≤
m
f
i
X
i
f(X) = \\sum_0\\leq i \\leq mf_i X^i
f(X)=∑0≤i≤mfiXi 为 degree为
m
m
m的多项式，则 commitment
C
f
∈
G
C_f\\in \\mathbbG
Cf∈G 定义为：
C
f
=
∑
0
≤
i
≤
m
f
i
[
s
i
]
,
C_f = \\sum_0\\leq i \\leq m f_i[s^i],
Cf=0≤i≤m∑fi[si],
为 an evaluation of
f
f
f at point
s
s
s。
1.3 Kate Proof
对于任意的
y
y
y，都有
f
(
X
)
−
f
(
y
)
f(X)-f(y)
f(X)−f(y)可整除
(
X
−
y
)
(X-y)
(X−y)。因此，对
f
(
y
)
=
z
f(y)=z
f(y)=z 的proof定义为：
π
[
f
(
y
)
=
z
]
=
C
T
,
\\pi[f(y)=z] = C_T,
π[f(y)=z]=CT,
其中
T
y
(
X
)
=
f
(
X
)
−
z
X
−
y
T_y(X) = \\fracf(X)-zX-y
Ty(X)=X−yf(X)−z 为 degree为
(
m
−
1
)
(m-1)
(m−1)的多项式。
该proof可由group内的
m
m
m次scalar multiplication运算来获得。
T
y
(
X
)
=
∑
0
≤
i
≤
m
−
1
t
i
X
i
T_y(X)=\\sum_0\\leq i \\leq m-1t_i X^i
Ty(X)=∑0≤i≤m−1tiXi多项式的系数可按如下方式计算，每步有一个scalar multiplication运算：
T
y
(
X
)
=
∑
0
≤
i
≤
m
−
1
t
i
X
i
;
(1)
T_y(X) = \\sum_0\\leq i \\leq m-1t_i X^i;\\tag1
Ty(X)=0≤i≤m−1∑tiXi;(1)
t
m
−
1
=
f
m
;
(2)
t_m-1 = f_m;\\tag2
tm−1=fm;(2)
t
j
=
f
j
+
1
+
y
⋅
t
j
+
1
(3)
t_j = f_j+1+y\\cdot t_j+1 \\tag3
tj=fj+1+y⋅tj+1(3)
将最后一个等式展开，有：
T
y
(
X
)
=
f
m
X
m
−
1
+
(
f
m
−
1
+
y
f
m
)
X
m
−
2
+
(
f
m
−
2
+
y
f
m
−
1
+
y
2
f
m
)
X
m
−
3
+
+
(
f
m
−
3
+
y
f
m
−
2
+
y
2
f
m
−
1
+
y
3
)
X
m
−
4
+
⋯
+
(
f
1
+
y
f
2
+
y
2
f
3
+
⋯
+
y
m
−
1
f
m
)
.
(4)
\\beginaligned T_y(X) =f_mX^m-1 + (f_m-1+yf_m)X^m-2 + (f_m-2+yf_m-1+y^2f_m)X^m-3 +\\\\+ (f_m-3+yf_m-2+y^2f_m-1+y^3)X^m-4+\\cdots + (f_1+yf_2+y^2f_3+\\cdots+y^m-1f_m). \\endaligned\\tag4
Ty(X)=fmXm−1+(fm−1+yfm)Xm−2+(fm−2+yfm−1+y2fm)Xm−3++(fm−3+yfm−2+y2fm−1+y3)Xm−4+⋯+(f1+yf2以上是关于Fast amortized Kate proofs的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
平摊分析 Amortized Analysis ------geeksforgeeks翻译