网络最大流入门

Posted 2020-10-20 自为

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了网络最大流入门相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

网络最大流是网络流中最基础也是最重要的部分，后边的许多模型也都是由最大流问题引申而来的

最大流

在研究这个问题之前，让我们先来学习一下前置知识

可行流

设$f(u,v)$表示边$(u,v)$的当前容量上限

设$c(u,v)$表示边$(u,v)$的最大容量上限

如果网络流图中的流量满足

源点$S$：流出量$=$流量总量
汇点$T$：流入量$=$流量总量
任意边$(u,v)$：$0<=f(u,v)<=c(u,v)$

则称该流为一个可行流

增广

增广：即增加一条路径上的流量

增加一条路径的流量，即减少这条路径的当前流量上限，即$f(u,v)$的值

增广是我们求解最大流的基础

最大流

定义：在所有可行流中流量最大的流

那么我们如何求解这个东西呢？

很显然的一种思路就是找到整个网络中的容量上限最小的边

增广(就是加流量)这条路径，不断的重复

暂且不说这么做时间复杂度如何

我们先考虑一下它的正确性。

这么做貌似很有道理，

但是！

以上图为例，如只是无脑增广的话，很可能对SABT这条边进行增广，而增广完这条边后，就再也没有可以增广的路径了，求出的最大流为$3$，下图为增广后的网络流图

很显然，这么做是错的，因为我们可以分别增广$SAT$，$SBT$这两条路径，得到的流量为$6$

那怎么解决这个问题呢？

我们需要引入一个非常重要的概念——反向边

例如，对于$SA$这条容量为$3$的边，我们可以认为存在一条容量为$0$的边$AS$与之对应，对于$SA$进行增广，即减小它的容量上限，相当于增大$AS$的容量上限

也就是说，我们允许从$SA$流出的流量倒流回去，给它一个悔改的机会

这样，对于上图而言，我们可以借助反向边来更改自己的错误操作，建立反向边后的图如下图所示

这样我们便又有了一条新的增广路$SBAT$，对这条路径进行增广后我们便可以得到网络最大流为$5$

考虑一下，为什么这样是对的？

原因很简单，造成我们刚开始做出错误决策的边为$AB$，最大流本不应经过这里，但是我们却无脑的经过了这里

因为反向边$BA$的存在，我们又把从$A$流向$B$的流量给退了回去。这就相当于没有经过$AB$这条边

（本节以下内容读者可以直接略过，属于本蒟蒻瞎扯，可能把读者带到沟里面，目前已有一人受害）

反向弧到这里本就应该结束了，但是本蒟蒻在学习的过程中一直有个问题不明白

为什么加反向弧是对的？

如果不考虑反向弧，我们选择的路径为$SAT$，$SBT$，但是加了反向弧之后我们的路径貌似不是这么选的啊。。

尤其是$AT$这条边的流量，本应该是从$SA$流过来，但实际是从$SB$流过来。

这样为什么是对的呢？

这个问题我思考了很长时间，最终得出了一个很不靠谱的结论

因为经过$AB$这条边的流量为$SA,AB,BT$的最小值，然后xjb分情况讨论一下，%……&*（）（）*&……%￥）（大概要分个一二十种情况吧，然后发现都是对的，其实就是各边之间的流量等效替代问题。。。）

看到这儿的同学，恭喜你们被带到坑里啦O(∩_∩)O哈哈~