【LightOJ1336】Sigma Function（数论）
题面
Vjudge
求和运算是一种有趣的操作，它来源于古希腊字母σ，现在我们来求一个数字的所有因子之和。例如σ(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.对于小的数字求和是非常的简单，但是对于大数字求和就比较困难了。现在给你一个n，你需要求出有多少个数字的σ是偶数。
注：一个数字的σ指这个数的所有因子之和
题解
现在观察一下数的因子和的奇偶性
如果这个数是一个奇数
那么，它的因子一定成对存在
且每一对的和都是偶数
但是，如果是完全平方数，那么它有一对为奇数
所以，所有奇数的完全平方数的因子和是奇数
如果这个数是偶数
那么，它可以写成\(2^x*n\)的形式
它的因子也可以看成成对存在的
所以，如果因子两项中都是偶数，那么和也是偶数，
所以，需要考虑的是分解成\(2^x*a\)和\(b\)的形式
但是\(a,b\)是对称的，所以有\(2^x*a\)就必有\(2^x*b\)
所以，这样组合起来还是偶数
但是，发现当\(n\)是完全平方数的时候
只能写出一个\(2^x*\sqrt n\)和\(\sqrt n\)
此时的因数的和是奇数
所以，我们发现，
只有\(2^x*i^2\)且\(i\)是奇数的时候
他们的因子的和才是奇数
所以，要求的就是\(n\)中含有几个\(2^x*i^2\)
每次把\(n\)除二，这样考虑每次的结果中含有几个\(i^2\)的倍数就行了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
ll x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int main()
{
int T=read();
for(int gg=1;gg<=T;++gg)
{
ll n=read(),l=sqrt(n);
ll ans=n;
while(n)
{
ll gg=sqrt(n);if(gg%2==0)gg--;
ans-=(gg+1)/2;
n>>=1;
}
printf("Case %d: %lld\n",gg,ans);
}
return 0;
}