卷积的物理意义

Posted 2020-10-19 8号prince

以自由落体运动做解释。假设一小球，初速度为0自由下落，经过时间T，其下落的位移：

                                                                     

其中，t_i-t_i-1=T/n,n->∞。G是重力加速度。

 

显然，小球下落的总位移，应该等于第1s内下落的位移+第2s内下落的位移+...第is内下落的位移+...+第Ts内下落的位移。那么，第i秒内下落的位移是多少呢？我们假设第i秒内（第i-1时刻到第i时刻称为第i秒）小球是匀速的，其速度等于第i-1时刻的速度：t_i-1*G。那么第i秒内下落的位移则是：t_i-1*G*(t_i-t_i-1)。T时间内下降的总的位移就是:

∑t_i-1*G*(t_i-t_i-1),i从1到T,t_i-t_i-1=1s。     

由于上面我们假设第i秒内小球是匀速的造成了一定的误差，所以为了消除这个误差，我们需要把第i秒这个时间间隔缩小，将T这个时间段分成n段，n->∞，则小球经过T秒下降的总位移为：∑t_i-1*G*(t_i-t_i-1),i从1到n，t_i-t_i-1=T/n。写成积分形式就是：

我们再来看看卷积的定义：设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

                                                                                                 

称为函数f与g的卷积。那么卷积写成离散形式应该是：

                                                                                          

对比自由落体的位移公式，我们假设f(t)=t为系统的输入（时间为系统的输入），g(x-t)=G为系统的响应函数（重力加速度是系统的响应函数，是系统的固有特性），则f(t)*g(x-t)是系统在t时刻达到的瞬时状态（小球在t时刻的速度是瞬时状态），在这个状态下持续了dt的时间，形成的效果就是f(t)*g(x-t)*dt（在t时刻到t+dt时刻这段时间内形成的位移）。计算从开始到最后输入造成的总的效果就应该是：∫f(t)*g(x-t)*dt（小球从开始到T时刻总的位移）。也就是说，系统最后的输出，应该是输入对系统响应的卷积（时间t对重力加速度的卷积）。