线段树标记永久化

Posted 2020-10-19 Cyhlnj

前言

对于树套树，主席树等使用到线段树的比较复杂的数据结构，如果区间修改的话，打标记后pushdown或者pushup是很难做到的完全不行吧
所以这个时候，一个神奇的东西诞生了。。。

正题

线段树标记永久化，维护一个标记，假设为cov，再维护一个sum
假设修改区间[ql, qr]全部加上v：
和平常一样，到这个区间后cov[x] += v
但是我们又不想pushup，怎么办？
很好做，更新的时候每次sum[x] += v * (qr - ql + 1) （注意这里的qr，ql是完全被包含于线段树[L, R]区间内的）
这个很好理解

void Modify(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v){
    sum[x] += v * (ql - qr + 1);
    if(ql == l && qr == r){  cov[x]++; return;  }
    RG int mid = (l + r) >> 1;
    if(qr <= mid) Modify(x << 1, l, mid, ql, qr);
    else if(ql > mid) Modify(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
        else Modify(x << 1, l, mid, ql, mid), Modify(x << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, qr);
}

那么询问怎么办
假设我们现在一个区间都打上了标记，表示为这个区间的子区间都需要累加区间修改
换句话说，该区间需要累加某个区间的标记，当且仅当这个区间完全包含该区间，这不就是线段树询问时从上往下累加标记就行了吗？
最后，累加的标记ad * (r - l + 1) + sum[x]就是询问的答案

int Query(int x, int ad, int l, int r, int ql, int qr){
    if(ql == l && qr == r) return sum[x] + ad * (r - l + 1);
    RG int mid = (l + r) >> 1;
    if(qr <= mid) return Query(x << 1, ad + cov[x], l, mid, ql, qr);
    if(ql > mid) return Query(x << 1 | 1, ad + cov[x], mid + 1, r, ql, qr);
    return Query(x << 1, ad + cov[x], l, mid, ql, mid) + Query(x << 1 | 1, ad + cov[x], mid + 1, r, mid + 1, qr);
}

最后

特别鸣谢 Orz Zsy教会我标记永久化