网络流24题最长不下降子序列（最大流，动态规划）

Posted 2020-10-19 小蒟蒻yyb的博客

【网络流24题】最长不下降子序列（最大流，动态规划）

题面

Cogs

题解

很有趣的一道题目
尽管我自己还是有一些懵逼

第一问，直接大力DP一下，不解释了

第二问，考虑到一个长度为ans的子序列的开头
他的dp值一定等于ans，
所以，如果一个点的dp值为ans，就从源点连过去，容量为1

因为每个数只能用一次，因此拆点
自己向自己的新点连容量为1的边

一个子序列的结束的位置其dp值必定为1
所以从dp值为1的新点向汇点连边，容量为1

接下来考虑点与点之间的关系
如果dp[i]=dp[j]+1 并且 a[i]<=a[j]
很显然的，这两个点可以连在一起
因为是一条路径，所以流要回到一侧继续寻找
所以从j‘连向i

第一问就这样跑最大流

第二问，因为1和n无限制
所以，如果1和n满足值开头或者结尾的条件的话
就把从源点或者汇点以及连向自己拆出来的点的边的容量改为INF即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 20000
#define MAXL 500000
#define INF 1000000000
inline int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Line
{
    int v,next,w;
}e[MAXL];
int h[MAX],cnt;
int S,T,n,m,K,ans,f[MAX],a[MAX],ret;
inline void Add(int u,int v,int w)
{
    e[cnt]=(Line){v,h[u],w};
    h[u]=cnt++;
    e[cnt]=(Line){u,h[v],0};
    h[v]=cnt++;
}
int level[MAX];
bool BFS()
{
    memset(level,0,sizeof(level));
    level[S]=1;
    queue<int> Q;
    Q.push(S);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            if(e[i].w&&!level[v])
                level[v]=level[u]+1,Q.push(v);
        }
    }
    return level[T];
}
int DFS(int u,int flow)
{
    if(flow==0||u==T)return flow;
    int ret=0;
    for(int i=h[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v;
        if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1)
        {
            int dd=DFS(v,min(flow,e[i].w));
            flow-=dd;ret+=dd;
            e[i].w-=dd;e[i^1].w+=dd;
        }
    }
    return ret;
}
int Dinic()
{
    //int ret=0;
    while(BFS())ret+=DFS(S,INF);
    return ret;
}
void DP()
{
    for(int i=n;i;i--)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            if(a[j]>=a[i])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    freopen("alis.in","r",stdin);
    freopen("alis.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
    DP();
    S=0;T=n+n+1;

    memset(h,-1,sizeof(h));cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)Add(i,i+n,1);
    for(int i=1;i<=n;++i)if(f[i]==ans)Add(S,i,1);
    for(int i=1;i<=n;++i)if(f[i]==1)Add(i+n,T,1);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            if(a[i]<=a[j]&&f[j]==f[i]-1)Add(i+n,j,1);
    printf("%d\n",Dinic());

    if(f[1]==ans)Add(S,1,INF),Add(1,1+n,INF);
    Add(n,n+n,INF);Add(n+n,T,INF);
    printf("%d\n",Dinic());

    return 0;   
}