●BZOJ 3963 [WF2011]MachineWorks

Posted 2020-10-19 *ZJ

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3963

题解：

斜率优化DP，CDQ分治。
先按时间排序。（规定以下内容的第i台机器的卖出时间D[i]大于第i-1台机器的卖出时间D[i-1]）
定义DP[i]表示在在第i台机器可以交易的那天，卖出所有机器后能够得到的最大收益，（最后答案是DP[all_day+1]）
转移显然:
$DP[i]=DP[i-1]$
$DP[i]=max(DP[j]+(D_i-D_j-1)*G_j-P_j+R_j) (j<i且DP[j]>=P[j])$
令$Y_j=DP[j]-(D_j+1)*G_j-P_j+R_j$，如果存在两个转移点k，j且G[k]<G[j],假设j点优于k点
那么 $Y_j-Y_k>-D_i(G_j-G_k)$
$\quad\quad\frac{Y_j-Y_k}{G_j-G_k}>-D_i$
那么得到结论，如果 G[k]<G[j],且Slope(j,k)>-D[i]的话，则j点优于k点。
同时如果存在三个转移来源点：k,j,i，满足G[k]<G[j]<G[i]，
同时Slope(i,j)>Slope(j,k),则j点无效。
所以对于每个来源点二元组(G[j],Y[j])，只需要在平面上维护一个上凸壳即可。

但是G不单调，所以用CDQ分治。
对于分治的每一层l~r，先递归处理左边l~mid,然后把左边按G从小到大排序，并维护好上凸壳。
由于D单调递增，所以遍历一边凸壳以及右边mid+1~r进行贡献就好。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 100050
#define ll long long
using namespace std;
ll Y[MAXN],G[MAXN],D[MAXN],P[MAXN],R[MAXN],DP[MAXN];
int h[MAXN],N,C,T,S;
bool cmp(int i,int j){
	return D[i]<D[j];
}
struct Moque{
	int q[MAXN],l,r;
	#define Slope(i,j) (1.0*(Y[i]-Y[j])/(G[i]-G[j]))
	void Reset(){l=1; r=0;}
	void Push(int i){
		if(l<=r&&G[i]==G[q[r]])
			{if(Y[i]>Y[q[r]]) r--; else return;}
		while(l+1<=r&&Slope(i,q[r])>Slope(q[r],q[r-1])) r--;
		q[++r]=i;
	}
	int Query(int i){
		while(l+1<=r&&Slope(q[l+1],q[l])>-D[i]) l++;
		return q[l];
	}
}Q;
void solve(int l,int r){
	static int tmp[MAXN],cl,cr,p; static ll MAXDP;
	if(l==r) return (void)(Y[h[l]]=DP[h[l]]-(D[h[l]]+1)*G[h[l]]-P[h[l]]+R[h[l]]);
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);//之后，左边G单调
	Q.Reset(); MAXDP=0;
	for(int i=l;i<=mid;i++){
		MAXDP=max(MAXDP,DP[h[i]]);
		if(DP[h[i]]>=P[h[i]]) Q.Push(h[i]);//上凸壳斜率单减
	}
	//Di单增，-Di单减，正序枚举就好。
	for(int i=mid+1,j;i<=r;i++){
		j=Q.Query(h[i]);
		DP[h[i]]=max(DP[h[i]],MAXDP);
		DP[h[i]]=max(DP[h[i]],DP[j]+(D[h[i]]-D[j]-1)*G[j]-P[j]+R[j]);
	}
	solve(mid+1,r);
	cl=l; cr=mid+1; p=l;
	while(cl<=mid||cr<=r){
		if(cl>mid) tmp[p]=h[cr],cr++;
		else if(cr>r||G[h[cl]]<G[h[cr]]) tmp[p]=h[cl],cl++;
		else tmp[p]=h[cr],cr++; p++;
	}
	for(int i=l;i<=r;i++) h[i]=tmp[i];
}
int main(){
	int Cas=0;
	while(1){
		memset(DP,0,sizeof(DP));
		scanf("%d%d%d",&N,&S,&T);
		if(N==0&&DP[1]==0&&T==0) break;
		memset(Y,0,sizeof(Y));
		for(int i=1,a,b,c,d;i<=N;i++){
			scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
			h[i]=i; D[i]=a; P[i]=b; R[i]=c; G[i]=d;
		}
		N++; D[N]=T+1; h[N]=N; 
		sort(h+1,h+N+1,cmp); 
		DP[h[1]]=S; solve(1,N);
		printf("Case %d: %lld\n",++Cas,DP[N]);
	}
	return 0;
}