11.设函数\(f(x)\)在\((a,+\infty)\)上单调上升,\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty\).证明:若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A\),则\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\).
证明 \(\forall M>0,\exists N_0>0,\)当\(n>N_0,x_n>M\),
\(\forall\varepsilon>0,\exists N_1>0,\)当\(n>N_1,|f(x_n)-A|<\varepsilon\),
取\(M=x_{N_1+1},\)当\(x>x_{N_0+1}>M=x_{N_1+1}\),再取\(M‘=x,N=\max\{N‘_0,N_1+2\}\),
有\(x_{N_1+1}<x<x_{N},f(x_{N_1+1})\leqslant f(x)\leqslant f(x_{N}),\)
则\(|f(x)-A|\leqslant\max\{|f(x_{N_1+1})-A|,|f(x_{N})-A|\}<\varepsilon\)
故\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\).
12.设函数\(f(x)\)在\((a,+\infty)\)上严格单调下降,证明:若\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\),则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty\).
证明 反证.
假设结论不成立,\(\exists M>0,\forall N>0,\exists n>N,x_n<M,f(x_n)>f(M)\),
则\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\geqslant f(M)>\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\),矛盾.
13.设函数\(f(x)\)是\((-\infty,+\infty)\)上定义的周期函数,而且\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0\),证明\(f(x)\equiv0\).
证明 反证.
假设结论不成立,记周期为\(T,\exists x_0,f(x_0)=A\not=0\),
则\(\forall N>0,\exists x_1=x_0+kT>N(k\in\mathbb{N}),|f(x_1)|>|\frac{A}{2}|\),矛盾.
14.设函数\(f(x)\)定义在\((0,+\infty)\)上,且满足:\(f(x)=f(2x),\forall x\in(0,+\infty)\),以及\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=l\).证明\(f(x)\equiv l\).
证明 反证.
假设结论不成立,\(\exists x_0>0,f(x_0)=A\not=l\),
则\(\forall N>0,\exists x_1=2^kx_0>N(k\in\mathbb{N}),|f(x_1)-l|>|\frac{A-l}{2}|\),矛盾.
15.设\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}\)存在,又有常数\(\alpha\not=1\)使\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(\alpha x)}{x}=0\).证明\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\).
证明若\(\alpha=0\),结论立即成立.
若\(\alpha\not=0,\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(\alpha x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}-\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(\alpha x)}{x}=(1-\alpha)\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\),
即\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=0\).