[HNOI 2015]落忆枫音

Posted 2020-10-18 NaVi_Awson

Description

「恒逸，你相信灵魂的存在吗？」 

郭恒逸和姚枫茜漫步在枫音乡的街道上。望着漫天飞舞的红枫，枫茜突然问出

这样一个问题。 

「相信吧。不然我们是什么，一团肉吗？要不是有灵魂……我们也不可能再见

到你姐姐吧。」 

恒逸给出了一个略微无厘头的回答。枫茜听后笑了笑。 

「那你仔细观察过枫叶吗？」 

说罢，枫茜伸手，接住了一片飘落的枫叶。 

「其实每一片枫叶都是有灵魂的。你看，枫叶上不是有这么多脉络吗？我听说，

枫叶上有一些特殊的位置，就和人的穴位一样。脉络都是连接在这些穴位之间的。

枫树的灵魂流过每片枫叶的根部，沿着这些脉络，慢慢漫进穴位，沁入整片枫叶。

也是因为这个原因，脉络才都是单向的，灵魂可不能倒着溜回来呢。」 

恒逸似懂非懂地点了点头。枫茜接着说了下去。 

「正是因为有了灵魂，每片枫叶才会与众不同。也正是因为有了灵魂，每片枫

叶也都神似其源本的枫树，就连脉络也形成了一棵树的样子。但如果仔细看的话，

会发现，在脉络树之外，还存在其它的非常细的脉络。虽然这些脉络并不在树上，

但他们的方向也同样顺着灵魂流淌的方向，绝不会出现可能使灵魂倒流的回路。」  

恒逸好像突然想到了什么。 

「那这些脉络岂不是可以取代已有的脉络，出现在脉络树上？」 

枫茜闭上了眼睛。 

「是啊，就是这样。脉络树并不是唯一的。只要有一些微小的偏差，脉络树就

可能差之万里，哪怕是在这同一片枫叶上。就像我们的故事，结局也不是唯一的。

只要改变一个小小的选项，故事流程可能就会被彻底扭转。」 

「真是深奥啊……」 

恒逸盯着这片红枫，若有所思地说。枫茜继续说道。 

「还不止如此呢。所有的脉络都不会永恒存在，也不会永恒消失。不管是脉络

树上的脉络，还是之外的细小脉络，都是如此。存在的脉络可能断开消失，消失的

脉络也可能再次连接。万物皆处在永恒的变化之中，人与人之间的羁绊也是。或许

有一天，我们与大家的羁绊也会如同脉络一样，被无情地斩断。或许我们也终将成

为“枫音乡的过客”。或许这一切都会是必然，是枫树的灵魂所决定的……」 

枫茜的眼角泛起了几滴晶莹剔透的泪珠。恒逸看着这样的枫茜，将她抱入怀中。  

「别这样想，枫茜。就算脉络断开，也有可能还会有新的脉络树，也还会与枫

树的根相连。这样的话，我们的羁绊仍然存在，只是稍微绕了一些远路而已。无论

如何，我都不会离开你的。因为你是我穷尽一生所寻找的，我的真恋啊！」 

两人的目光对上了。枫茜幸福地笑了，把头埋进了恒逸的怀抱。从远方山上的

枫林中，传来了枫的声音。 

【问题描述】 

不妨假设枫叶上有 n个穴位，穴位的编号为 1 ~  n。有若干条有向的脉络连接

着这些穴位。穴位和脉络组成一个有向无环图——称之为脉络图（例如图 1），穴

位的编号使得穴位 1 没有从其他穴位连向它的脉络，即穴位 1 只有连出去的脉络；

由上面的故事可知，这个有向无环图存在一个树形子图，它是以穴位 1为根的包含

全部n个穴位的一棵树——称之为脉络树（例如图 2和图 3给出的树都是图1给出

的脉络图的子图）；值得注意的是，脉络图中的脉络树方案可能有多种可能性，例

如图2和图 3就是图 1给出的脉络图的两个脉络树方案。 

       

脉络树的形式化定义为：以穴位 r 为根的脉络树由枫叶上全部 n个穴位以及 n

-  1 条脉络组成，脉络树里没有环，亦不存在从一个穴位连向自身的脉络，且对于

枫叶上的每个穴位 s，都存在一条唯一的包含于脉络树内的脉络路径，使得从穴位

r 出发沿着这条路径可以到达穴位 s。 

现在向脉络图添加一条与已有脉络不同的脉络（注意：连接 2个穴位但方向不

同的脉络是不同的脉络，例如从穴位3到4的脉络与从4到3的脉络是不同的脉络，

因此，图 1 中不能添加从 3 到 4 的脉络，但可添加从 4 到 3 的脉络），这条新脉络

可以是从一个穴位连向自身的（例如，图 1 中可添加从 4 到 4 的脉络）。原脉络图

添加这条新脉络后得到的新脉络图可能会出现脉络构成的环。 

请你求出添加了这一条脉络之后的新脉络图的以穴位 1 为根的脉络树方案数。

由于方案可能有太多太多，请输出方案数对 1,000,000,007 取模得到的结果。 

Input

输入文件的第一行包含四个整数 n、m、x和y，依次代表枫叶上的穴位数、脉

络数，以及要添加的脉络是从穴位 x连向穴位y的。 

接下来 m行，每行两个整数，由空格隔开，代表一条脉络。第 i 行的两个整数

为ui和vi，代表第 i 条脉络是从穴位 ui连向穴位vi的。 

Output

 输出一行，为添加了从穴位 x连向穴位 y的脉络后，枫叶上以穴位 1 为根的脉

络树的方案数对 1,000,000,007取模得到的结果。 

Sample Input

4 4 4 3
1 2
1 3
2 4
3 2

Sample Output

3

HINT

 对于所有测试数据，1 <= n <= 100000，n - 1 <= m <= min(200000, n(n – 1) / 2)，

1 <= x, y, ui, vi <= n。

题解

首先我们简化这个问题，考虑一个$DAG$中树形图的个数。

值得注意的是这里有朱刘算法的一个推广：

如果除根节点外每个点都选择一条入边，由于没有环，因此一定会形成一个树形图。

这里简要证明一下：

首先证明这个图是联通的。

采用反证法，假设图不联通，显然原图存在一个子图满足：子图联通，并且子图中边数$w$>点数$u$。

那么这样这个子图的总入度>总点数。那么一定存在一个点入度>$1$。与题设不符，原命题成立。

下证这个连通图满足树形图的性质。

依旧采用反证法，我们假设选择满足题意的边不能够成树形图。那么存在两条不同的路径$S_1$，$S_2$从根节点$1$到达另外一个节点$v$。

假设子图$g(u‘,w‘) ⊂$ 原图$G(u,w)$是满足$S_1,S_2 ⊂ g(u‘,w‘)$的极小子图。

既然存在两条不同的路径，显然$u‘ <= w‘$。

又由于除根节点外每个点有且仅有一个入边，显然$w‘ =  u‘-1$。矛盾，原命题成立。

由上述结论，显然简化版的问题答案就是：$$ans = \prod_{i=2}^n degree_i（其中degree_i表示节点i的入度）$$

我们再来考虑原问题，现在加上额外的一条边之后，原图可能形成环。再由上面的决策，显然不可行。

我们考虑不合法的情况是什么：显然选边的时候构成环就是不合法的。并且这个环中的一条边肯定是$x \rightarrow y$。

容易得到的结论就是，需要减去的不合法的值就是$$\sum_{S是G中y \rightarrow x的一条路径的点集}\prod_{2\leq j\leq n,j\notin S}degree_j$$

考虑贡献法来计算，用$top-sort-dp$，记$f_i$表示$$\sum_{S是G中y \rightarrow i的一条路径的点集}\prod_{2\leq j\leq n,j\notin S}degree_j$$

$dp$方程就是$$f_i=\frac{\sum_{j\rightarrow i}f_j}{degree_i}$$

初值$$f_y=\frac{\prod_{i=2}^ndegree_i}{degree_y}$$

由于$1$号根节点不选入边，所以$1$号点显然不能构成环。若$y == 1$，显然这条边不可能被选，不用$top-sort-dp$，直接输出原始$ans$即可。

 1 //It is made by Awson on 2017.12.24
 2 #include <map>
 3 #include <set>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <cstdio>
10 #include <string>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
17 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
18 using namespace std;
19 const int N = 100000;
20 const int M = 200000;
21 const int MOD = 1000000007;
22 
23 int n, m, x, y, u, v;
24 struct tt {
25     int to, next;
26 }edge[M+5];
27 int path[N+5], top;
28 int ans = 1, degree[N+5], in[N+5];
29 int f[N+5];
30 queue<int>Q;
31 
32 int quick_pow(int a, int b) {
33     int cnt = 1;
34     while (b) {
35     if (b&1) cnt = (LL)cnt*a%MOD;
36     a = (LL)a*a%MOD;
37     b >>= 1;
38     }
39     return cnt;
40 }
41 void topsort() {
42     f[y] = ans;
43     for (int i = 1; i <= n; i++) if (in[i] == 0) Q.push(i);
44     while (!Q.empty()) {
45     int u = Q.front(); Q.pop();
46     f[u] = (LL)f[u]*quick_pow(degree[u], MOD-2)%MOD;
47     for (int i = path[u]; i; i = edge[i].next) {
48         (f[edge[i].to] += f[u]) %= MOD; in[edge[i].to]--;
49         if (in[edge[i].to] == 0) Q.push(edge[i].to);
50     }
51     }
52 }
53 void add(int u, int v) {
54     edge[++top].to = v;
55     edge[top].next = path[u];
56     path[u] = top;
57 }
58 void work() {
59     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &x, &y);
60     degree[y]++;
61     for (int i = 1; i <= m; i++) {
62     scanf("%d%d", &u, &v);
63     add(u, v); degree[v]++;
64     }
65     for (int i = 2; i <= n; i++) ans = (LL)ans*degree[i]%MOD;
66     for (int i = 1; i <= n; i++) in[i] = degree[i]; in[y]--;
67     if (y != 1) topsort();
68     printf("%d\n", (ans-f[x]+MOD)%MOD);
69 }
70 int main() {
71     work();
72     return 0;
73 }