算法学习整体二分

Posted 2020-10-17 PinkRabbit

我们开门见山，讲讲一道sb题：

给你一个数组，查这个数组的第x大元素。

排序？可以

二分？怎么做啊？

二分出一个mid，判断这个数组中有多少个数小于等于mid，如果个数大于等于x，就递归到[l,mid]区间，否则是[mid+1,r]区间，这样递归下去就能得到结果。

怎么计算小于等于mid的个数？

for一遍原数组？其实只要存储数组中值在[l,r]中的数，然后计算就好，而对于[1,l-1]，可以预先存储。

怎么计算？树状数组，范围太大就离散化。

这样很麻烦吧？排序更好吧？

但是当我给你多个询问时，你就不会这么觉得了。

回顾刚才的过程，我们做上图的类比。

把询问看成球，答案的区间就是这个矩形，每一次我们将上一层的球判断它会掉到下层的哪一块中，掉到底层就是获得了答案。

刚刚的过程就是球只有1个的情况。

球有多个时，就是整体二分！

就是对于当前的mid，对每一个询问都计算答案是大了还是小了，然后决定分配到下一层的哪边。

要注意保证时间复杂度哦！

一道例题：HDU 5412。

查询区间K小，要支持单点修改。

看代码：

 1 #include<cstdio>
 2 int n,q,a[100001],sum[300001],ans[300001],que1[300001],que2[300001],bit[300001];
 3 int I[300001],type[300001],ql[300001],qr[300001],k[300001],cnt;
 4 inline void ins(int t,int l,int r,int x){type[++cnt]=t,ql[cnt]=l,qr[cnt]=r,k[cnt]=x,I[cnt]=cnt;}
 5 inline void Ins(int i,int x){for(;i<=n;bit[i]+=x,i+=i&-i);}
 6 inline int Qur(int i){int Sum=0;for(;i;Sum+=bit[i],i-=i&-i);return Sum;}
 7 void divide(int l,int r,int low,int upp){
 8     if(l>r) return;
 9     if(low==upp) {for(int i=l;i<=r;++i) if(type[I[i]]==3) ans[I[i]]=low; return;}
10     int mid=low+upp>>1,cl=0,cr=0;
11     for(int i_=l,i;i_<=r;++i_){
12         i=I[i_];
13         if(type[i]==1) {if(k[i]<=mid) Ins(ql[i],1), que1[++cl]=i; else que2[++cr]=i;}
14         if(type[i]==2) {if(k[i]<=mid) Ins(ql[i],-1), que1[++cl]=i; else que2[++cr]=i;}
15         if(type[i]==3){
16             int tmp=Qur(qr[i])-Qur(ql[i]-1);
17             if(k[i]<=sum[i]+tmp) que1[++cl]=i;
18             else que2[++cr]=i, sum[i]+=tmp;
19         }
20     }
21     for(int i_=l,i;i_<=r;++i_){
22         i=I[i_];
23         if(type[i]==1) if(k[i]<=mid) Ins(ql[i],-1);
24         if(type[i]==2) if(k[i]<=mid) Ins(ql[i],1);
25     }
26     for(int i=1;i<=cl;++i) I[l+i-1]=que1[i];
27     for(int i=1;i<=cr;++i) I[l+cl+i-1]=que2[i];
28     divide(l,l+cl-1,low,mid); divide(l+cl,r,mid+1,upp);
29 }
30 int main(){
31     scanf("%d",&n);
32     for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i), ins(1,i,i,a[i]);
33     scanf("%d",&q);
34     for(int i=1,t,x,y,z;i<=q;++i){
35         scanf("%d",&t);
36         if(t==1) scanf("%d%d",&x,&y), ins(2,x,x,a[x]), ins(1,x,x,y), a[x]=y;
37         else scanf("%d%d%d",&x,&y,&z), ins(3,x,y,z);
38     }
39     divide(1,cnt,1,1000000000);
40     for(int i=1;i<=cnt;++i) if(ans[i]) printf("%d\\n",ans[i]);
41     return 0;
42 }

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一道例题：洛谷 P3332。

查询区间K大，要支持区间加入。

看代码：

 1 #include <cstdio>
 2 
 3 typedef long long LL;
 4 const int MN = 50005;
 5 
 6 int N, Q;
 7 
 8 int opt[MN], L[MN], R[MN]; LL V[MN];
 9 int P[MN];
10 int s1[MN], s2[MN], t1, t2;
11 
12 LL Sum[MN];
13 int Ans[MN];
14 
15 LL b1[MN], b2[MN];
16 inline void Add(LL *b, int i, LL x) { for(; i <= N; i += i & -i) b[i] += x; }
17 inline LL Qur(LL *b, int i) { LL A = 0; for(; i; i -= i & -i) A += b[i]; return A; }
18 inline void Add(int l, int r, LL x) {
19     ++r;
20     Add(b1, l,  x), Add(b2, l,  (l - 1) * x);
21     Add(b1, r, -x), Add(b2, r, -(r - 1) * x);
22 }
23 inline LL Qur(int l, int r) {
24     --l;
25     return r * Qur(b1, r) - Qur(b2, r) - l * Qur(b1, l) + Qur(b2, l);
26 }
27 
28 void Solve(int l, int r, int lb, int rb) {
29     if (lb == rb) {
30         for (int i = l; i <= r; ++i)
31             if (opt[P[i]] == 2)
32                 Ans[P[i]] = lb;
33         return ;
34     }
35     int mid = lb + rb >> 1;
36     t1 = t2 = 0;
37     for (int i = l; i <= r; ++i) {
38         if (opt[P[i]] == 1) {
39             if (V[P[i]] <= mid)
40                 s1[++t1] = P[i];
41             else {
42                 Add(L[P[i]], R[P[i]], 1);
43                 s2[++t2] = P[i];
44             }
45         }
46         else {
47             LL num = Sum[P[i]] + Qur(L[P[i]], R[P[i]]);
48             if (num >= V[P[i]]) 
49                 s2[++t2] = P[i];
50             else {
51                 Sum[P[i]] = num;
52                 s1[++t1] = P[i];
53             }
54         }
55     }
56     for (int i = l; i <= r; ++i) {
57         if (opt[P[i]] == 2) continue;
58         if (V[P[i]] > mid)
59             Add(L[P[i]], R[P[i]], -1);
60     }
61     int pos = l;
62     for (int i = 1; i <= t1; ++i)
63         P[pos++] = s1[i];
64     for (int i = 1; i <= t2; ++i)
65         P[pos++] = s2[i];
66     int M = l + t1 - 1;
67     Solve(l, M, lb, mid);
68     Solve(M + 1, r, mid + 1, rb);
69 }
70 
71 int main() {
72     scanf("%d%d", &N, &Q);
73     for (int i = 1; i <= Q; ++i) {
74         scanf("%d%d%d%lld", opt + i, L + i, R + i, V + i);
75         P[i] = i;
76     }
77     Solve(1, Q, -N, N);
78     for (int i = 1; i <= Q; ++i) {
79         if (opt[i] == 1) continue;
80         printf("%d\\n", Ans[i]);
81     }
82     return 0;
83 }

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