CDQ分治与整体二分

Posted 2020-10-15 yodel

前言

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本来想要只讲CDQ分治的，但由于整体二分和CDQ分治有一些相似之处，便顺藤摸瓜一起讲了

在讲解之前，先普及一下在线算法和离线算法的定义

在线算法： 可以以序列化的方式一个一个的处理输入，不必事先知道所有输入数据 

离线算法： 必须事先知道所有的输入数据 （例如选择排序就是一个离线算法，而插入排序则不是）

还有一点，在学习算法前掌握凸壳和斜率优化可能会有神助

 

 

CDQ分治

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CDQ分治，是一种十分优美的暴力算法。它可以代替很多比较玄学的数据结构，乃广大OIer的福音

但是，不得不感叹一句，网络上关于CDQ分治的讲解实在是太少，而且语言过于抽象，

这导致很多OIer没能接触到其魅力就避而远之。

CDQ分治的关键在于，每个子问题不仅是解决它自身，并且用前一个子问题来求解后一个子问题。常用来将一些动态的问题转化到静态来解决，使问题处理起来更加方便。 
使用CDQ分治需要满足一定的条件：

1.题目允许离线操作

2.修改操作对询问的贡献独立，且修改之间互不影响

3.修改对答案的贡献是确定的，与判定标准无关

4.常数小

揭开这个幌子，先来举例说明这个算法的特点

1.代码简短（比起树套树来说）

2.易想出

3.为离线算法（化动态开点为静态查询），如果需要强制在线的话还是推荐其它算法

和普通的分治一样，分和治在这个算法中都得到了很好的展现

1.我们要解决一系列问题，这些问题一般包含修改和查询操作，可以把这些问题排成一个序列，用一个区间[L,R]表示。

2.分。递归处理左边区间[L,M]和右边区间[M+1,R]的问题。

3.治。合并两个子问题，同时考虑到[L,M]内的修改对[M+1,R]内的查询产生的影响。即，用左边的子问题帮助解决右边的子问题。

 

和很多数据结构（线段树，树状数组。。。）一样，它做了这么多是为了什么？就是为了把符合本次查询的限制的修改对答案产生的效果合并起来 

 

 

 整体二分

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说完了CDQ分治再来说说整体二分

相对于CDQ分治，整体二分的知名度会更高一些，是很多OIer在解决一些问题时的常用方法

整体二分产生的原因：对于单个查询而言，我们可以采用预处理+二分答案的方法解决，但往往我们要回答的是一系列的查询，对于每个查询而言我们都要重新预处理然后二分，时间复杂度无法承受，但是我们仍然希望通过二分答案的思想来解决，整体二分就是基于这样一种想法——我们将所有操作（包括修改和查询）一起二分，进行分治 

简单地说，整体二分就是对询问和答案同时二分

同样的，整体二分也需要满足一定的条件：

1. 题目允许离线操作 

2. 修改操作对询问的贡献独立，且修改之间互不影响 

3. 修改对答案的贡献是确定的，与判定标准无关 

4. 答案具有二分性

5.贡献满足交换律，结合律，具有可加性

 

 CDQ分治和整体二分的异同

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同：

1.都是按时间进行分治

2.代码很像（不完全一样，这在异中会讲到）

3.复杂度都是O(f(n)logn)

异：

1.整体二分有二分答案操作

2.适用范围不同（具体看上面的使用条件）