●BZOJ 4596 [Shoi2016]黑暗前的幻想乡

Posted 2020-10-17 *ZJ

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4596

题解：

容斥，矩阵树定理，矩阵行列式

先说说容斥：(一共有 N-1个公司)
令 f[i] 表示选出 (N-1)-i 个公司来修路(即有i个公司一定不修)，且不管每个公司只能修一条路这一限制的方案数。
那么 答案 ANS=0个公司不修的方案数 - 1个公司不修的方案数 +2个公司不修的翻案数 ...
即 ANS= f[0] - f[1] +f[2] - ... + (-1)ⁱ*f[i]
f[i]的求法呢，就是先O(2^N)枚举公司集合情况，
然后用矩阵树定理 O(N³) 求出当前情况下的生成树方案数。
另外再本题中，在构造上三角矩阵用以求行列式时，
既要避免小数，还要不影响原矩阵的行列式的值，
所以采用辗转相除的高斯消元法去构造上三角矩阵。复杂度多一个(logN)
由矩阵行列式的性质可知，这样辗转相除的高斯消元法不会影响行列式的绝对值，
只会影响符号位的正负，所以统计一下正负号的变化就好了。
(还不会矩阵树定理，看看这里，入门一波。)（还没写哈…）
所以总的时间复杂度为 O(2^N*N³*logN)。
(都是这个复杂度，不晓得为什么我的代码跑到这么慢，都垫底了......)

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define add(x,y) (((1ll*(x)+(y))%mod+mod)%mod)
#define mul(x,y) (((1ll*(x)*(y))%mod+mod)%mod)
#define filein(x) freopen(#x".in","r",stdin)
#define fileout(x) freopen(#x".out","w",stdout)
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct Matrix{
	int Val[20][20],*X[20],R,C;
	void Init(int r,int c){//r==c
		R=r; C=c;
		memset(Val,0,sizeof(Val));
		for(int i=1;i<=R;i++) X[i]=Val[i];
	}
	void Modify(int r,int c,int v){
		X[r][c]=add(X[r][c],v);
	}
	void operator =(const Matrix &rtm){
		Init(rtm.R,rtm.C);
		for(int i=1;i<=R;i++)
			for(int j=1;j<=C;j++)
				Val[i][j]=rtm.X[i][j];
	}
	Matrix operator -(const Matrix & rtm) const{
		Matrix now; now=*this;
		for(int i=1;i<=R;i++)
			for(int j=1;j<=C;j++)
				now.X[i][j]=add(now.X[i][j],-rtm.X[i][j]);
		return now;
	}
	void Gauss_Euclidean(int p,int &ti){//形成上三角矩阵 
		if(p==R-1) return;
		if(!X[p][p]) 
			for(int i=p+1;i<R;i++) if(X[i][p]){
				swap(X[i],X[p]); ti++; break;
			}
		if(!X[p][p]) return;
		for(int i=p+1;i<R;i++){
			while(X[i][p]){
				int t=X[p][p]/X[i][p];
				for(int j=p;j<R;j++)
					X[p][j]=add(X[p][j],-mul(X[i][j],t));
				swap(X[p],X[i]); ti++;
			}
		}
		Gauss_Euclidean(p+1,ti);
	}
	int Determinant(){
		int ti=0,ans=1;
		Gauss_Euclidean(1,ti);
		for(int i=1;i<R;i++) ans=mul(ans,X[i][i]);
		if(ti&1) ans=mul(ans,-1);
		return ans;
	}
	void print(){
		for(int i=1;(i!=1?printf("\n"):0),i<=R;i++)
			for(int j=1;j<=R;j++)
				printf("%d ",X[i][j]);
	}
}A,B,K;
int cpy[20][500];
int ANS,N,tmp;
void dfs(int p,int num){
	if(p>=N) return;
	//选
	for(int i=1,a,b;i<=2*cpy[p][0];i+=2){
		a=cpy[p][i]; b=cpy[p][i+1];
		A.Modify(a,a,1); A.Modify(b,b,1);
		B.Modify(a,b,1); B.Modify(b,a,1);
	}
	K=A-B; tmp=K.Determinant();
	if(((N-1)-(num+1))&1) tmp=mul(tmp,-1);
	ANS=add(ANS,tmp);
	dfs(p+1,num+1);
	//不选
	for(int i=1,a,b;i<=2*cpy[p][0];i+=2){
		a=cpy[p][i]; b=cpy[p][i+1];
		A.Modify(a,a,-1); A.Modify(b,b,-1);
		B.Modify(a,b,-1); B.Modify(b,a,-1);
	}
	dfs(p+1,num);
}
int main()
{
	scanf("%d",&N);
	A.Init(N,N); B.Init(N,N);
	for(int i=1;i<=N-1;i++){
		scanf("%d",&cpy[i][0]);
		for(int j=1;j<=2*cpy[i][0];j++)
			scanf("%d",&cpy[i][j]);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d",ANS);
	return 0;
}