算法竞赛入门经典--例题和课后训练（动态规划）

Posted 2020-07-03 tech-chen

1.地铁间谍（逆序推导时间法）

特工玛利亚被送到S市执行一个特别危险的任务。她需要利用地铁完成他的任务，S市的地铁只有一条线路运行，所以并不复杂。

玛利亚有一个任务，现在的时间为0，她要从第一个站出发，并在最后一站的间谍碰头。玛利亚知道有一个强大的组织正在追踪她，她知道如果一直呆在一个车站，她会有很大的被抓的风险，躲在运行的列车中是比较安全的。所以，她决定尽可能地呆在运行的列车中，她只能往前或往后坐车。

玛利亚为了能准时且安全的到达最后一个车站与对方碰头，需要知道在在车站最小等待时间总和的计划。你必须写一个程序，得到玛丽亚最短的等待时间。当然，到了终点站之后如果时间还没有到规定的时刻，她可以在车站里等着对方，只不过这个等待的时刻也是要算进去的。

这个城市有n个车站，编号是1-n，火车是这么移动的：从第一个车站开到最后一个车站。或者从最后一站发车然后开会来。火车在每特定两站之间行驶的时间是固定的，我们也可以忽略停车的时间，玛利亚的速度极快，所以他可以迅速上下车即使两辆车同时到站。

输入输出格式

输入格式：

输入文件包含多组数据，每组数据都由7行组成

第1行：一个正整数N（2<=N<=50）表示站的数量

第2行：一个正整数T（0<=T<=200）表示需要的碰头时间

第3行：1-（n-1）个正整数（0<ti<70）表示两站之间列车的通过时间

第4行：一个整数M1（1<=M1<=50）表示离开第一个车站的火车的数量

第5行：M1个正整数：d1，d2……dn，（0<=d<=250且di<di+1）表示每一列火车离开第一站的时间

第6行：一个正整数M2（1<=M2<=50）表示离开第N站的火车的数量

第7行：M2个正整数：e1,e2……eM2,(0<=e<=250且ei<ei+1)表示每一列火车离开第N站的时间

最后一行有一个整数0。

输出格式： 

对于每个测试案例，打印一行“Case Number N: ”（N从1开始）和一个整数表示总等待的最短时间或者一个单词“impossible”如果玛丽亚不可能做到。按照样例的输出格式。

输入输出样例

输入样例#1：

4
55
5 10 15
4
0 5 10 20
4
0 5 10 15
4
18
1 2 3
5
0 3 6 10 12
6
0 3 5 7 12 15
2
30
20
1
20
7
1 3 5 7 11 13 17
0

输出样例#1：

Case Number 1: 5
Case Number 2: 0
Case Number 3: impossible

说明

第一组样例说明，她0分钟时上车，在3号站下车，立刻坐上（0分始发）15分开的车回去，到2号车站，立刻坐上（20分始发）25开的车到终点，50分到，还需要等待5分钟。

/*时间上的逆推法：由下一刻到t的最短时间来求当前时刻的最短时间，
注意这个题目中的预处理,解决了DP过程中需要判断能不能坐火车的问题（其他题目也要相互类比一下）
*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#define N 501
#define T 2001
#define INF 1<<30
#include<cstring>
int n,t,tim[N],m1,trainm1[N],m2,trainm2[N];
int have_train[T][N][2];
int kase=0;
int f[T][N];
void input()
{
    memset(tim,0,sizeof(tim));
    memset(trainm1,0,sizeof(trainm1));
    memset(trainm2,0,sizeof(trainm2));
    memset(have_train,0,sizeof(have_train));
    memset(f,0,sizeof(f));
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
    {
        scanf("%d",&tim[i]);
    }
    scanf("%d",&m1);
    for(int i=1;i<=m1;++i)
    {
        scanf("%d",&trainm1[i]);
        int k=1;
        
       for(int j=trainm1[i];k<=n;j+=tim[k-1])
        {
            have_train[j][k][0]=1;/*have_train[][][]记录第j时刻，第k个车站，0表示向右的地铁，1表示向左的地铁，这是预处理，DP的时候容易写出方程*/
            k++;
        }
        
    }
    scanf("%d",&m2);
    for(int i=1;i<=m2;++i)/*同样的预处理*/
    {
        scanf("%d",&trainm2[i]);
        int k=n;
        for(int j=trainm2[i];k>=1;j+=tim[k])
        {
            have_train[j][k][1]=1;
            k--;
        }
        
    }
    
}
void DP()
{
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
    f[t][i]=INF;/*动规方程的边界条件，在第t时刻，到达了n车站的最小等待时间是0*/
    f[t][n]=0;
    for(int i=t-1;i>=0;--i)
      for(int j=1;j<=n;++j)
      {
          f[i][j]=f[i+1][j]+1;/*这表示玛利亚没有走，而是在原地等了一分钟，注意这个是用未来的时间推出现在的时间*/
          if(j<n&&have_train[i][j][0]&&i+tim[j]<=t)/*递推：在i时刻j车站有向右的地铁，那么乘车走向下一站，时间从下一站推导这一站*/
          f[i][j]=min(f[i][j],f[i+tim[j]][j+1]);
          if(j>1&&have_train[i][j][1]&&i+tim[j-1]<=t)
          f[i][j]=min(f[i][j],f[i+tim[j-1]][j-1]);
      }
}
int main()
{
    for(;;)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
        break;
        ++kase;
        printf("Case Number %d: ",kase);
        input();
        DP();
        if(f[0][1]>=INF)/*如果推出的在第0时刻，第一个点到终点的最短等待时间>INF,也就是无法到的，任何状态，任何乘车方法都到不了，那么就输出impossible，值得注意的是，这里的INF也相当于是一个标志*/
        printf("impossible");
        else printf("%d",f[0][1]);
        printf("\\n");
    }
    return 0;
}

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