bzoj4517排列计数 错排+组合

Posted 2020-10-16 wsy

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

 

很显然发现只要有n-m个元素错排，其余元素在原位置就可以贡献答案

任意选m个元素为稳定，其余元素完全错排  ans=f[n-m]*c[n][m]     f[]为错排方案  c[][]为组合数

组合数无法递推求，我们用公式n!/((n-m)!*m!)，但注意下面的取逆元  又由于mod是一个素数，根据费马小定理，a^(p-2)=1(mod p) p为素数

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define N 1000005
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll f[N],fac[N];

ll qp(ll a,int b){
    ll c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=(c*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return c;
}

int main(){
#ifdef wsy
    freopen("data.in","r",stdin);
#else
    //freopen(".in","r",stdin);
    //freopen(".out","w",stdout);
#endif
    int T;
    scanf("%d",&T);
    f[1]=0;f[2]=1;f[0]=1;
    for(register int i=3;i<=1e6;i++)
    f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(register int i=2;i<=1e6;i++)
    fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ll t1=qp(fac[m],mod-2),t2=qp(fac[n-m],mod-2);
        ll c=(fac[n]*t1)%mod;
        c=(c*t2)%mod;
        ll res=(f[n-m]*c)%mod;
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}